โจทย์หัดเเต่งเองครับ

[LightLucifer]

#72

$\frac{\sqrt{a}}{5+a} \le \frac{a}{18}+\frac{1}{9}$ ครับ

[จูกัดเหลียง]

#76 เเล้วเราจะรู้ได้ไงครับว่า มันน้อยว่าหรือมากกว่า
เเล้วก็ที่ Hint ไว้ก็ไปไม่ถูกเลยครับ มันกลับข้างอ่ะ - -*

[LightLucifer]

จะดูยังไงว่ามันมากกว่าหรือน้อยกว่านี่ผมก็บอกไปใน #70 แล้วครับว่ามันต้องเอามาพิสูจน์ดูอีกรอบว่าจริงหรือป่าว เพราะที่เราหามาได้มันเป็นแค่สมมติฐาน

[จูกัดเหลียง]

#78 ไม่ได้หมายถึง Hint ผิดครับ เเต่ผมไม่รู้จะยังไงต่อมากกว่า เพราะลองพิสูจน์ที่เหลือเเล้วมันกลับข้างอ่ะครับ
เเต่ก็อยากจะลองคิดเองก่อนดีกว่า

[LightLucifer]

อ่อ ==" ผมตาลายอีกแล้ว ช่วงนี้เป็นงี้ประจำเลย

จริงๆแล้วจ้อนี้มันจะ strong กว่าข้อแรกอ่ะ มันเลยจะยากกว่าหน่อย

[PP_nine]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

#72

$\frac{\sqrt{a}}{5+a} \le \frac{a}{18}+\frac{1}{9}$ ครับ

ถ้าไม่แน่ใจ ก็ใส่เครื่องหมายอะไรเอ่ยคั่นกลางไว้ก่อน จากนั้นค่อย backward ขึ้นมา เช่นตัวอย่างนี้
$$\frac{\sqrt{a}}{a+5} [?] \frac{1}{18} a + \frac{1}{9}$$ ให้ $\sqrt{a}=x$ $$\frac{x}{x^2+5} [?] \frac{1}{18} x^2 + \frac{1}{9}$$
$$18x [?] (x^2+5)(x^2+2)$$
$$0 [?] x^4+7x^2-18x+10$$
$$0 [?] (x-1)(x^3+x^2+8x-10)$$
$$0 [?] (x-1)^2(x^2+2x+10)$$
ทีนี้พอจะมองออกหรือยังครับว่าเครื่องหมายอะไรเอ่ยนั่นก็คือ $\le$ นั่นเอง

ฉะนั้น $$\frac{\sqrt{a}}{a+5} \le \frac{1}{18} a + \frac{1}{9}$$
โดยสมการเกิดเมื่อ $x=1$ หรือ $a=1$

แต่ข้อควรระวังสำหรับวิธีนี้คืออย่าทำอะไรให้อสมการมันกลับข้างเท่านั้นพอ เครื่องหมายอะไรเอ่ยก็ยังคงเป็นตัวเดิม

[PP_nine]

ว่าแต่ ตัวนี้ลองพิสูจน์ดูยังครับ ว่ามันจริงหรือเปล่า

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

$$\Big(\frac{x}{x+1}\Big)^n\ge \frac{n}{2^{n+1}}x+\frac{2-n}{2^{n+1}}$$

เดี๋ยวคนอื่นหาว่าผมสอนอะไรผิดๆ

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ PP_nine

ว่าแต่ ตัวนี้ลองพิสูจน์ดูยังครับ ว่ามันจริงหรือเปล่า



เดี๋ยวคนอื่นหาว่าผมสอนอะไรผิดๆ

อ้อ ลืมไปครับ ถ้าผมลองกรณีที่ $n=3$ มันจะกลายเป็น
$$\Big(\frac{x}{x+1}\Big)^3[?] \frac{3}{16}x-\frac{1}{8}$$
เเล้วพอกระจายก็กลายเป็น $$(x-1)^3(3x+1)[?]0$$
เเบบนี้ก็สรุปไม่ได้เหรอครับ

ขอบคุณล่วงหน้าครับ (เเล้วก็มีโจทย์อีกไหมครับ)

[PP_nine]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

เเล้วพอกระจายก็กลายเป็น $$(x-1)^3(3x+1)[?]0$$
เเบบนี้ก็สรุปไม่ได้เหรอครับ

อย่างนี้ยังสรุปไม่ได้ครับ เพราะสิ่งที่เราวิเคราะห์นั้นต้องสอดคล้องเงื่อนไขทั้งหมด

ที่อันนี้ใช้ไม่ได้เพราะติดแฟกเตอร์ $(x-1)^3$ นั่นเอง เพราะเราบอกได้แค่ว่า $(x-1)^2(3x+1)\ge0$

แต่เรายังบอกไม่ได้ว่า $(x-1)^3(3x+1)\ge0$ ซึ่งมันจะจริงแค่เพียงกรณีที่ $x-1\ge0$ เท่านั้น

ส่วนกรณี $x-1<0$ อสมการก็กลับข้าง จึงยังใช้ไม่ได้ครับ

(พูดง่ายๆคือ $[?]$ อาจเป็น $\le$ หรือ $\ge$ ก็ได้ ขึ้นอยู่กับค่า $x$)

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ PP_nine

อย่างนี้ยังสรุปไม่ได้ครับ เพราะสิ่งที่เราวิเคราะห์นั้นต้องสอดคล้องเงื่อนไขทั้งหมด

ที่อันนี้ใช้ไม่ได้เพราะติดแฟกเตอร์ $(x-1)^3$ นั่นเอง เพราะเราบอกได้แค่ว่า $(x-1)^2(3x+1)\ge0$

แต่เรายังบอกไม่ได้ว่า $(x-1)^3(3x+1)\ge0$ ซึ่งมันจะจริงแค่เพียงกรณีที่ $x-1\ge0$ เท่านั้น

ส่วนกรณี $x-1<0$ อสมการก็กลับข้าง จึงยังใช้ไม่ได้ครับ

(พูดง่ายๆคือ $[?]$ อาจเป็น $\le$ หรือ $\ge$ ก็ได้ ขึ้นอยู่กับค่า $x$)

ขอบคุณหลายๆครับ
โจทย์ใหม่มาก่อนเลยดีกว่านะครับ

[PP_nine]

เอาโจทย์เก่าของผมที่ยังไม่มีคนเฉลยไปทำพลางๆก่อนละกัน

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ PP_nine

9. $x,y,z>0$ โดยที่ $x+y+z=1$ พิสูจน์ $$\frac{(1+x)^3}{1+y^3}+\frac{(1+y)^3}{1+z^3}+\frac{(1+z)^3}{1+x^3} \ge \frac{240}{49}+\frac{288}{49} (xy+yz+zx)$$
12. $a_1,a_2,...,a_n>0$ (โดยที่ $n \ge 2$) สอดคล้องอสมการ $$\left(\, \sum_{i=1}^{n} a_i \right) \left(\, \sum_{i=1}^{n} a_i^2 \right) \left(\, \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{a_i^3} \right) \le \left(\, n+\frac{36}{7} \right) ^3$$ พิสูจน์ $$\max \left\{\, a_1,a_2,...,a_n \right\} \le 7 \min \left\{\, a_1,a_2,...,a_n \right\} $$

เด๊๋ยวจะลองหาโจทย์ประเภท tangent line มาให้ดูอีกครับ ขอเวลาไปเปิดโน้ตดูก่อน

[PP_nine]

อีกตัวอย่างหนึ่งที่ใช้ tangent line ไม่ได้ชัดๆเลยคือ โจทย์ข้อ 3 ของคุณ LightLucifer ครับ

http://www.mathcenter.net/forum/show...43&page=15#217

เพราะลองพลอทกราฟดูก่อนก็จะพบกับความยุ่งเหยิง (ลองสร้างเส้นสัมผัสดูครับ )

http://www.wolframalpha.com/input/?i...5E4%2Bx%2B6%29

อันนี้โจทย์ที่ดัดแปลงมาครับ ลองทำดูเล่นๆ (อาจทำวิธีอื่นก็ได้)

$a,b,c>0$ และ $ab+bc+ca=3abc$ พิสูจน์
$$\sum_{cyc} \frac{1}{\sqrt{a^2+b^2+2}} \le \frac{3}{2}$$

[จูกัดเหลียง]

#87 ผมคิดว่าข้างขวาเป็น $\frac{3}{4}$ ใช่ป่ะครับ

[BLACK-Dragon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

#87 ผมคิดว่าข้างขวาเป็น $\frac{3}{4}$ ใช่ป่ะครับ

ผมว่าโจทย์ถูกแล้วล่ะครับ

[PP_nine]

จริงๆโจทย์เก่าอันนี้ผมทำแบบ tangent line เอาไว้

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ PP_nine

10. $a,b,c>0$ และ $\sqrt{7}abc=ab+bc+ca$ พิสูจน์ $$\sum_{cyc} \frac{1}{9+a^2+b^2} \le \frac{7}{27}$$

อันนี้ก็คล้ายๆกัน แต่อาจจะยุ่งเหยิงนิดนึง ถ้าจะทำคนละวิธีกัน

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ PP_nine

$a,b,c>0$ และ $ab+bc+ca=3abc$ พิสูจน์
$$\sum_{cyc} \frac{1}{\sqrt{a^2+b^2+2}} \le \frac{3}{2}$$

Hint

$$\frac{1}{\sqrt{a^2+1+b^2+1}} \le \frac{1}{2\sqrt{2}} \Big( \frac{1}{\sqrt{a^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{b^2+1}} \Big)$$
แล้วพิจารณา
$$f(x)=\sqrt{1+x^2}$$

Hint(อีกรอบ)

อย่าใช้
$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$$