|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#76
|
||||
|
||||
#75 Thx for your reply
8.Let $a,b,c,d\in \mathbb{R^+}$ Prove $$ \frac{a-b}{a+2b+c}+\frac{b-c}{b+2c+d}+\frac{c-d}{c+2d+a}+\frac{d-a}{d+2a+b}\ge 0$$ $$ \frac{a-b}{a+2b+c}+\frac{b-c}{b+2c+d}+\frac{c-d}{c+2d+a}+\frac{d-a}{d+2a+b}\ge 0$$ $$\Leftrightarrow \frac{3a+c}{a+2b+c}+\frac{3b+d}{b+2c+d}+\frac{3c+a}{c+2d+a}+\frac{3d+b}{d+2a+b}\ge 4$$ But by Cauchy's Engel Form $$\frac{3a+c}{a+2b+c}+\frac{3b+d}{b+2c+d}+\frac{3c+a}{c+2d+a}+\frac{3d+b}{d+2a+b}\ge \frac{\Big(4(a+b+c+d)\Big)^2}{4(a+b+c+d)^2}=4$$ Which is what we want
__________________
Vouloir c'est pouvoir 06 พฤศจิกายน 2011 07:14 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ จูกัดเหลียง |
#77
|
||||
|
||||
52.Let $a,b,c\in \mathbb{R-R^-}$ $a+b+c\ge 3$
Prove $$\frac{1}{a^2+b+c}+\frac{1}{b^2+c+a}+\frac{1}{c^2+a+b}\le 1$$ $$\frac{1}{a^2+b+c}+\frac{1}{b^2+c+a}+\frac{1}{c^2+a+b}\le \sum_{cyc} \frac{1}{a^2-a+3}$$ Use $f(x)=\frac{1}{a^2-a+2}$ Then $f$ is concave $f^{"}(x)=\frac{2(1-2x)^2-2}{(x^2-x+3)^3}\le 0\leftrightarrow x\ge 0$ $$ \sum_{cyc} \frac{1}{a^2-a+3}\le \frac{3}{\Big(\frac{a+b+c}{3}\Big)^2-\frac{a+b+c}{3}+3}$$ It's Remain to show that $$\frac{3}{\Big(\frac{a+b+c}{3}\Big)^2-\frac{a+b+c}{3}+3}\le 1\Leftrightarrow a+b+c\ge 3$$
__________________
Vouloir c'est pouvoir |
#78
|
|||
|
|||
ฟังก์ชันนี้ไม่ได้ concave ตลอดช่วงครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#79
|
||||
|
||||
ทำไมอย่างนั้นอ่ะครับ ผมก็เเสดงให้ดูเเลว้นา = =
__________________
Vouloir c'est pouvoir |
#80
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
$a+b+c\le a^2+b^2+c^2$ $$\frac{a^2+b^2}{a+b}+\frac{b^2+c^2}{b+c}+\frac{c^2+a^2}{c+a}\ge \sum_{cyc} \frac{a^2+b^2}{a^2+b^2+c^2-c}$$ It's Remain to show that $$ \sum_{cyc} \frac{a^2+b^2}{a^2+b^2+c^2-c}\ge 3\leftrightarrow \sum_{cyc} \frac{a-a^2}{3-a}\ge 0$$ Use $f(x)=\frac{x-x^2}{3-x}$ Then $f$ is Convex by $f^{"}(x)=\frac{-6 (2x^2-7x-5)}{(3-x)^3}>0\leftrightarrow x<\frac{5}{2}$ Then It's cleared!!!
__________________
Vouloir c'est pouvoir |
#81
|
|||
|
|||
diff ถูกแล้วครับแต่
$f''(x)\leq 0 \Leftrightarrow 0\leq x\leq 1$ ซึ่งจะไม่คลุมทุกกรณีที่เป็นไปได้ โจทย์ของ Vasile เขาปิดช่องทางใช้อสมการง่ายๆไว้หมดแล้วล่ะครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#82
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
ซึ่งมันควรจะเป็น concave function
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#83
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
เปิ้ลไหนครับ ปล. ขอบคุณที่ชี้เเนะครับ เเต่ $1$ มาจากไหนอ่ะครับ
__________________
Vouloir c'est pouvoir 06 พฤศจิกายน 2011 18:11 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ จูกัดเหลียง |
#84
|
|||
|
|||
โอยปวดหัว ไม่ได้เช็ควิธีทำใน # 77 ให้ละเอียด
มีแอบวางยาไว้หลายจุดลองไปเช็คเอาเองนะครับ $f(x)=\dfrac{1}{x^2-x+3}$ $f'(x)=\dfrac{1-2x}{(x^2-x+3)^2}$ $f"(x)=\dfrac{2(3x^2-3x-2)}{(x^2-x+3)^3}$ $f''(x)\leq 0\Leftrightarrow 3x^2-3x-2\leq 0$ $\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}-\sqrt{\dfrac{11}{12}}\leq x\leq \dfrac{1}{2}+\sqrt{\dfrac{11}{12}}$ ซึ่งจะเห็นว่าไม่คลุมทุกกรณีเนื่องจาก $\dfrac{1}{2}+\sqrt{\dfrac{11}{12}}<3$ คำตอบนี้ทั้งคำนวณด้วยมือและเช็คด้วย Maple(น้องเปิ้ล) ครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น 06 พฤศจิกายน 2011 22:18 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nooonuii |
#85
|
||||
|
||||
อ้อ เข้าใจเเล้วครับ ผม diff ผิดเองสินะ 555
__________________
Vouloir c'est pouvoir |
#86
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
ข้อนี้เหมือนมีอะไรมาบังตาก็ไม่รู้ครับ ใช้อะไรก็ไม่ออกเลย $\dfrac{a}{b-c}+\dfrac{b}{c-a}+\dfrac{c}{a-b}=T$ อสมการที่เราต้องการจะพิสูจน์สมมูลกับ $\displaystyle T^2-2\sum_{cyc} \dfrac{ab}{(c-a)(b-c)} \ge 2$ แต่ $\displaystyle \sum_{cyc} \dfrac{ab}{(c-a)(b-c)}= \dfrac{ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)}{(a-b)(b-c)(c-a)}$ $ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\dfrac{-(a-b)(b-c)(c-a)}{(a-b)(b-c)(c-a)}$ $ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = -1$ $\Big (\dfrac{a}{b-c}+\dfrac{b}{c-a}+\dfrac{c}{a-b}\Big)^2 \ge 0$ 08 พฤศจิกายน 2011 19:01 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ BLACK-Dragon |
#87
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
ผมคิดว่าข้อนี้ เป็น schur's ที่สวยมากครับ ก่อนอื่นก็จัดการ LHS. ซะก่อน $\dfrac{(6-ab)(6-bc)+(6-bc)(6-ca)+(6-ca)(6-ab)}{(6-ab)(6-bc)(6-ca)}= \dfrac{-12(ab+bc+ca)+abc(a+b+c)+108}{216-36(ab+bc+ca)+6abc(a+b+c)-a^2b^2c^2} \leqslant \dfrac{3}{5} $ จะได้อสมการสมมูลกับ $-48(ab+bc+ca)+13abc(a+b+c)-3a^2b^2c^2+108 \geqslant 0$ แทน $a+b+c=3$ เข้าไปในอสมการ และหารด้วย 3 ตลอดทั้งสมการ $-16(ab+bc+ca)+12abc+abc-a^2b^2c^2+36 = 4(-4(ab+bc+ca)+3abc+9)+abc(1-abc) \geqslant 0$ $abc(1-abc) \geqslant 0$ (เงื่อนไข $a+b+c=3$) พิสูจน์ $9-4(ab+bc+ca)+3abc \geqslant 0$ ให้ $p=a+b+c , q =ab+bc+ca , r=abc$ จะได้อสมการสมมูลกับ $p^3+9r \geqslant 4pq$ ซึ่งเป็นจริงโดยอสมการ Schur's
__________________
Fighting for Eng.CU
|
#88
|
|||
|
|||
วิธีสั้นๆนะครับ $$\sqrt{\frac{2a}{a+b}}+\sqrt{\frac{2b}{b+c}}+\sqrt{\frac{2c}{c+a}}$$ $\leqslant$ $$\sqrt{[\frac{2a}{(a+b)(a+c)}+\frac{2b}{(b+c)(b+a)}+\frac{2c}{(c+a)(c+b)}][(a+c)+(b+a)+(c+b)]} $$ $$= 2\sqrt{2}\sqrt{\frac{(a+b+c)(ab+bc+ca)}{(a+b)(b+c)(c+a)}}$$ $$\leqslant 3$$ จากการกระจาย
__________________
The only way to do mathematics is to do mathematics . |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
สมาคมฯ warm up !! | -SIL- | ปัญหาคณิตศาสตร์ ม.ปลาย | 39 | 14 พฤศจิกายน 2010 18:16 |
warm-up | Siren-Of-Step | ฟรีสไตล์ | 5 | 28 กรกฎาคม 2010 08:48 |
WARM UP !! สำหรับ ''สสวท.รอบ2 อีกครั้ง'' | คusักคณิm | ข้อสอบในโรงเรียน ประถมปลาย | 13 | 07 เมษายน 2009 23:29 |
WARM UP !! สำหรับ ''สพฐ. รอบต่อไป' | คusักคณิm | ข้อสอบในโรงเรียน ประถมปลาย | 2 | 28 มีนาคม 2009 10:10 |
Warm Up ! | passer-by | ข้อสอบโอลิมปิก | 98 | 14 มกราคม 2009 14:45 |
|
|