|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#106
|
||||
|
||||
ใช่เเล้วครับ
|
#107
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
เจอแต่ hint ให้ $a=x^2+1,b=y^2+1,c=z^2+1$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น 25 กุมภาพันธ์ 2011 12:43 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nooonuii |
#108
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
ใช่โจทย์นี้หรือเปล่า $(a,b,c \geqslant 1)$ $\sqrt{a-1} + \sqrt{b-1} + \sqrt{c-1} \leqslant \sqrt{c(ab+1)} $ ถ้าใช่ ผมใช้ ถ้าไม่ใช่ห้ามเปิดดู นึกแล้วว่ายังไงต้องเปิดดู $\sqrt{a-1} + \sqrt{b-1} \leqslant \sqrt{ab} $ |
#109
|
||||
|
||||
ขอบคุณสำหรับทั้งสองโพสครับ
ทั้งของคุณ nooonuii และ คุณหยินหยาง เลย #106 ลองไปหาโหลดหนังสืออสมการของ Hojoolee, Titu,Secret in inequality ดูครับ ของสอวนก็โอเคนะครับ
__________________
เหนือฟ้ายังมีฟ้าแต่เหนือข้าต้องไม่มีใคร ปีกขี้ผื้งของปลอมงั้นสินะ ...โลกนี้โหดร้ายจริงๆ มันให้ความสุขกับเรา แล้วสุดท้าย มันก็เอาคืนไป... 25 กุมภาพันธ์ 2011 21:05 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ LightLucifer |
#110
|
||||
|
||||
#109 ขอบคุณมากครับ
|
#111
|
||||
|
||||
มาเพิ่มให้ครับ(ถึงวิธีจะไม่สร้างสรรค์ก็เถอะ ==" )
ข้อ 150.$(x,y,z>0)$ $$\frac{x}{x+\sqrt{(x+y)(x+z)} }+\frac{y}{y+\sqrt{(y+z)(y+x)} }+\frac{z}{z+\sqrt{(z+x)(z+y)} } \leq 1$$ สังเกตว่า LHS มัน Sym W.L.O.G $x \geq y \geq z$ พิจรณา$\frac{x}{x+\sqrt{(x+y)(x+z)} }+\frac{y}{y+\sqrt{(y+z)(y+x)} }+\frac{z}{z+\sqrt{(z+x)(z+y)} } \leq 1 \leftrightarrow \frac{\sqrt{(x+y)(x+z)}}{x+\sqrt{(x+y)(x+z)} }+\frac{\sqrt{(y+z)(y+x)}}{y+\sqrt{(y+z)(y+x)} }+\frac{\sqrt{(z+x)(z+y)}}{z+\sqrt{(z+x)(z+y)} } \geq 2 $ โดย AM-GM จะได้ว่า $\sum_{cyc} \frac{\sqrt{(x+y)(x+z)}}{x+\sqrt{(x+y)(x+z)}} \geq \sum_{cyc}\frac{\sqrt{(x+y)(x+z)}}{x+\frac{2x+y+z}{2} }=\sum_{cyc}\frac{(x+y)(x+z)}{\sqrt{(x+y)(x+z)}(x+\frac{2x+y+z}{2})} \geq \sum_{cyc}\frac{(x+y)(x+z)}{(\frac{2x+y+z}{2})(x+\frac{2x+y+z}{2})}=\sum_{cyc}\frac{4(x+y)(x+z)}{(2x+y+z)(4x+y+z)}$ พิจรณา $\sum_{cyc}\frac{2(x+y)(x+z)}{(2x+y+z)(4x+y+z)}-1=\frac{2(x+y)(x+z)}{(2x+y+z)(4x+y+z)}+\frac{2(y+z)(y+z)}{(2y+z+x)(4y+z+x)}+(\frac{2(z+x)(z+y)}{(2z+x+y)(4z+x+y)}-1)$ $=\frac{2(x+y)(x+z)}{(2x+y+z)(4x+y+z)}+\frac{2(y+z)(y+z)}{(2y+z+x)(4y+z+x)}+\frac{2(z+x)(z+y)-(8z^2+6zx+6zy+x^2+2xy+y^2)}{(2z+x+y)(4z+x+y)}$ จาก $x \geq y \geq z$ จะได้ $ \geq \frac{2(x+y)(x+z)+2(y+z)(z+x)+2(z+x)(z+y)-(8z^2+6zx+6zy+x^2+2xy+y^2)}{24x^2}$ $= \frac{2(x^2+y^2+z^2)+6(xy+yz+xz)-(8z^2+6zx+6zy+x^2+2xy+y^2)}{24x^2}$ $= \frac{x^2+y^2+4(xy)-6z^2}{24x^2}$ แต่ $x \geq y \geq z$ ดังนั้น $\frac{1}{2} \sum_{cyc} \frac{\sqrt{(x+y)(x+z)}}{x+\sqrt{(x+y)(x+z)}} -1 \geq \sum_{cyc}\frac{2(x+y)(x+z)}{(2x+y+z)(4x+y+z)}-1 \geq \frac{x^2+y^2+4(xy)-6z^2}{24x^2}\geq 0$ $\leftrightarrow \frac{\sqrt{(x+y)(x+z)}}{x+\sqrt{(x+y)(x+z)} }+\frac{\sqrt{(y+z)(y+x)}}{y+\sqrt{(y+z)(y+x)} }+\frac{\sqrt{(z+x)(z+y)}}{z+\sqrt{(z+x)(z+y)} } \geq 2 \leftrightarrow \frac{x}{x+\sqrt{(x+y)(x+z)} }+\frac{y}{y+\sqrt{(y+z)(y+x)} }+\frac{z}{z+\sqrt{(z+x)(z+y)} } \leq 1 \ \ \square$ ปล ใครทำข้อ 69 กับ 71 ได้ ช่วย Hint ทีครับ
__________________
เหนือฟ้ายังมีฟ้าแต่เหนือข้าต้องไม่มีใคร ปีกขี้ผื้งของปลอมงั้นสินะ ...โลกนี้โหดร้ายจริงๆ มันให้ความสุขกับเรา แล้วสุดท้าย มันก็เอาคืนไป... |
#112
|
|||
|
|||
69. โจทย์ผิดนี่ครับ
71. น่าจะหาได้ไม่ยากนะ ยังไม่มีวิธีคิดดีๆโดยไม่แยกกรณีเลยครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#113
|
||||
|
||||
ข้อ 69 มีตัวอย่างค้านไหมครับ
__________________
เหนือฟ้ายังมีฟ้าแต่เหนือข้าต้องไม่มีใคร ปีกขี้ผื้งของปลอมงั้นสินะ ...โลกนี้โหดร้ายจริงๆ มันให้ความสุขกับเรา แล้วสุดท้าย มันก็เอาคืนไป... |
#114
|
|||
|
|||
โจทย์ถูกแล้วล่ะครับ แต่ผมเข้าใจผิดไปเอง
Hint : LHS $\geq a+b+c+\dfrac{27}{(a+b+c)^3}$ ลองดูว่าอสมการอะไรที่ทำให้เลข $4$ ผุดขึ้นมาในอสมการ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น 06 มีนาคม 2011 22:07 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nooonuii |
#115
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
แต่ข้อ 71 ยังไม่เข้าใจครับว่า แยกเคสยังไงอ่ะครับ
__________________
เหนือฟ้ายังมีฟ้าแต่เหนือข้าต้องไม่มีใคร ปีกขี้ผื้งของปลอมงั้นสินะ ...โลกนี้โหดร้ายจริงๆ มันให้ความสุขกับเรา แล้วสุดท้าย มันก็เอาคืนไป... |
#116
|
||||
|
||||
พี่ Noonuii ครับ เเบบนี้ใช่ไหมครับ
$a+b+c+\frac{27}{(a+b+c)^3}=\frac{a+b+c}{3}+\frac{a+b+c}{3}+\frac{a+b+c}{3}+\frac{27}{(a+b+c)^3}\geq 4$ โดย AM-GM เเล้วเเบบนี้อสมการจะเกิดเมื่อไรครับ ขอบคุณครับ
__________________
"ชั่วโมงหน้าต้องดีกว่าเดิม!" |
#117
|
||||
|
||||
มาเพิ่มให้ครับ
84.(Bulgaria 1997) (abc=1 ,a,b,c>0) $$\frac{1}{1+a+b}+\frac{1}{1+b+c}+\frac{1}{1+c+a} \leq \frac{1}{2+a}+\frac{1}{2+b}+\frac{1}{2+c}$$ สังเกตว่าอสมการมัน Sym W.L.O.G. $a\geq b \geq c$ โดยอสมการ AM-GM จะได้ว่า $2(a^2+b^2+c^2)+2(a+b+c) \geq 6(abc)^{\frac{2}{3}}+6(abc)^{\frac{1}{3}} =12$ $\leftrightarrow \sum_{cyc}(a^2+b^2+5a+5b+2ab+4) \geq \sum_{cyc}(2ab+4a+4b+8)$ (ไม่มีอะไรครับแค่บวกบางพจน์เพิ่ม) $\leftrightarrow \sum_{cyc} (1+a+b)(4+a+b) \geq 2\sum_{cyc} (2+a)(2+b)$ $\leftrightarrow \sum_{cyc} (1+a+b)(4+a+b)-2\sum_{cyc} (2+a)(2+b) \geq 0$ $\leftrightarrow \frac{\sum_{cyc} (1+a+b)(4+a+b)-2 (2+a)(2+b)}{(a+b+1)(2+a)(2+b)} \geq 0$ แต่ $a \geq b \geq c$ จะได้ว่า $\sum_{cyc}\frac{(1+a+b)(4+a+b)-2(2+a)(2+b)}{(a+b+1)(2+a)(2+b)} \geq \frac{\sum_{cyc}(1+a+b)(4+a+b)-2 (2+a)(2+b)}{(a+b+1)(2+a)(2+b)} \geq 0$ $\leftrightarrow \sum_{cyc} \frac{4+a+b}{(2+a)(2+b)}-\sum_{cyc} \frac{2}{a+b+1} \geq 0$ $\leftrightarrow \frac{1}{2+a}+\frac{1}{2+b}+\frac{1}{2+c} \geq \frac{1}{1+a+b}+\frac{1}{1+b+c}+\frac{1}{1+c+a} \ \ \ \square$
__________________
เหนือฟ้ายังมีฟ้าแต่เหนือข้าต้องไม่มีใคร ปีกขี้ผื้งของปลอมงั้นสินะ ...โลกนี้โหดร้ายจริงๆ มันให้ความสุขกับเรา แล้วสุดท้าย มันก็เอาคืนไป... |
#118
|
||||
|
||||
โจทย์ให้พิสูจน์ว่ามากกว่าหรือเท่ากับ $4\sqrt{3}$ ครับ
__________________
เหนือฟ้ายังมีฟ้าแต่เหนือข้าต้องไม่มีใคร ปีกขี้ผื้งของปลอมงั้นสินะ ...โลกนี้โหดร้ายจริงๆ มันให้ความสุขกับเรา แล้วสุดท้าย มันก็เอาคืนไป... |
#119
|
||||
|
||||
ขออภัยครับ Bound ตกขอบ
ทำอยู่ตั้งนานไม่ออกครับ รบกวนเฉลยครับ ออกเเล้วครับ $a+b+c+\frac{9}{(a+b+c)^3}+\frac{9}{(a+b+c)^3}+\frac{9}{(a+b+c)^3} \geq 4\sqrt[4]{\frac{3^6}{(a+b+c)^8}}=\frac{4\sqrt[4]{3^6}}{(a+b+c)^2} \geq 4\sqrt{3}$ โดย AM-GM เเละ $(a+b+c)^2 \leq 3(a^2+b^2+c^2)=3$ โจทย์ข้อนี้สอนอะไรผมเยอะมาก ขอบคุณคุณ Light เเละ พี่ Noonuii มากครับ
__________________
"ชั่วโมงหน้าต้องดีกว่าเดิม!" 07 มีนาคม 2011 07:11 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Keehlzver |
#120
|
||||
|
||||
มาเพิ่มให้ครับ
145.(C2645)(a,b,c>0) $$\frac{2(a^3+b^3+c^3)}{abc}+\frac{9(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2} \geq 33$$ สังเกตว่าอสมการมัน Sym W.L.O.G $a \geq b \geq c$ $\frac{2(a^3+b^3+c^3)}{abc}+\frac{9(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2} \geq 33$ $\leftrightarrow \frac{2(a^3+b^3+c^3)-33abc}{abc}+\frac{9(a+b+c)^2(\frac{a+b+c}{3})}{(a^2+b^2+c^2)(\frac{a+b+c}{3})} \geq 0$ $\leftrightarrow \frac{2(a^3+b^3+c^3)-33abc}{abc}+\frac{9(a+b+c)^2(\frac{a+b+c}{3})}{(a^2+b^2+c^2)(\frac{a+b+c}{3})} \geq \frac{2(a^3+b^3+c^3)-33abc}{a^3}+\frac{3(a+b+c)^3}{3a^3} \geq 0$ ซึ่งเป็นจริงโดย AM-GM $\square$
__________________
เหนือฟ้ายังมีฟ้าแต่เหนือข้าต้องไม่มีใคร ปีกขี้ผื้งของปลอมงั้นสินะ ...โลกนี้โหดร้ายจริงๆ มันให้ความสุขกับเรา แล้วสุดท้าย มันก็เอาคืนไป... 07 มีนาคม 2011 18:13 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ LightLucifer |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
Update หนังสือของ Hojoo Lee แล้ว!! | gools | ฟรีสไตล์ | 5 | 06 พฤษภาคม 2008 12:22 |
|
|