#106
|
||||
|
||||
ขอบคุณมากครับ (น่าจะ)ได้ข้อ 3 เเล้ว 555
จาก Hint คุณ Keehlzver จึงเพียงพอที่จะเเสดงว่า $(a^2-a+1)(b^2-b+1)(c^2-c+1)(d^2-d+1)\ge \Big(\dfrac{1+abcd}{2}\Big)^2$ คือผมไม่เเน่ใจว่า $f(x)=\log(x^2-x+1)$ เป็น convex หรือป่าวอ่ะครับ โดย Jensen ให้ $f(x)=\log (x^2-x+1)$ เป็น canvex function เเละให้ $t=\dfrac{a+b+c+d}{4}$ จึงได้ว่า $$\prod_{cyc} (a^2-a+1)\ge (t^2-t+1)^4$$ จาก $\dfrac{1+abcd}{2}\le \dfrac{1+t^4}{2}$ จึงต้องการเเสดงว่า $\Big(\dfrac{1+t^4}{2}\Big)^2\le (t^2-t+1)^4\leftrightarrow (t-1)^4\ge 0$
__________________
Vouloir c'est pouvoir |
#107
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
__________________
"ชั่วโมงหน้าต้องดีกว่าเดิม!" |
#108
|
|||
|
|||
#104
ผมก็ทำแบบ หา n ตัวแรกให้ได้คือ $2^{n_1}+1= n_2 $ n ตัวแรกก็เป็น 1 แล้วผมก็ให้ $2^{n_2}+1= n_3$ แบบนี้ไปเรื่อย ๆ ไม่ได้หรอครับ |
#109
|
||||
|
||||
ถึงแบบนี้ก็ต้องพิสูจน์ให้ได้อยู่ดีครับ แบบอุปนัย
__________________
"ชั่วโมงหน้าต้องดีกว่าเดิม!" |
#110
|
|||
|
|||
ผมว่าเวลา hint ก็ hide ไว้ได้ไหมครับบ เดี๋ยวมันจะหมดความสนุกเอา
บางครั้งผมไม่ได้ตั้งใจจะอ่านอ่ะครับ แต่มันเห็นแว็บนึงมันก็มาป่วนในความคิดตลอดเลย 1. ใช้อสมการ Holder จะได้ $\displaystyle\sum_{cyc} \sqrt[3]{\dfrac{a(a^2+pbc)}{p+1}} \leq \sqrt[3]{(\dfrac{3}{p+1})(a+b+c)(a^2+b^2+c^2+p(ab+bc+ca))} $ ที่เหลือก็พิสูจน์ว่า $(\dfrac{3}{p+1})(a+b+c)(a^2+b^2+c^2+p(ab+bc+ca)) \leq (a+b+c)^3$ $\leftrightarrow 3(a^2+b^2+c^2+p(ab+bc+ca)) \leq (p+1)(a+b+c)^2$ $\leftrightarrow ab+bc+ca \leq a^2+b^2+c^2$ |
#111
|
|||
|
|||
2. ให้ $a= \sqrt{x+1} ,b=\sqrt{y+1} ,c=\sqrt{x+y} $ จะได้ $a^2+b^2-2=c^2$ $(a-b)(ab(a+b)-abc-2c) \geq 0$ $ab(a+b) \geq c(ab+2)$ ถ้า $x>y \geq 1$ จะได้ $x^2 > y^2$ ยกกำลังสองจะได้ $a^2b^2(a^2+b^2+2ab) \geq (a^2+b^2-2)(a^2b^2+4ab+4) $(a^2-2)(b^2-2) \geq 0$ |
#112
|
||||
|
||||
พอดีมีคนเอามาให้ทำอ่ะครับ แหะๆ เลยเอามาแชร์กันหน่อย
1. จงหาพหุนาม $P(x)$ ที่ $P(0)=2$ และ $P(x^2+1)=P(x)^2+1$ 2. ให้ $x,y,z \geqslant 0$ และ $a,b,c>0$ $$\frac{x^3}{a^2} +\frac{y^3}{b^2} +\frac{z^3}{c^2} \geqslant \frac{(x+y+z)^3}{(a+b+c)^2} $$ 3. ให้ $a_i,b_i,c_i\geqslant 0$ โดย $i=1,2,...,n$ และกำหนดให้ $$a=\sum_{i = 1}^{n} a_i,b=\sum_{i = 1}^{n} b_i,c=\sum_{i = 1}^{n} c_i$$ จงแสดงว่า $$(a^3-\sum_{i = 1}^{n} a_i^3)(b^3-\sum_{i = 1}^{n} b_i^3)(c^3-\sum_{i = 1}^{n} c_i^3)\leqslant (abc-\sum_{n = 1}^{n} a_ib_ic_i)^3$$ Credit ข้อ 2 3 : อ. Nooonuii ครับ
__________________
I'm Back 08 ตุลาคม 2012 09:56 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Beatmania |
#113
|
||||
|
||||
1. ไม่มี ฟังก์ชันพหุนาม ที่สอดคล้อง กับ สมการเชิงฟังก์ชันนี้ หรือเปล่าครับ
07 ตุลาคม 2012 22:11 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Euler-Fermat |
#114
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
$x^4+2x^2+2$ ลองแทนดูครับ |
#115
|
||||
|
||||
ท่านเล่นกันแต่อสมการเลยนะครับ(ผมอ่อนสุดๆ)
|
#116
|
||||
|
||||
ครับ เด๋ว จะเช็คดูผมน่าจะพลาดอะไรบางอย่าง
|
#117
|
||||
|
||||
ข้อ 2 มองเป็น Holder ครับ
$$\Big(\frac{x^3}{a^2}+ \frac{y^3}{b^2}+\frac{z^3}{c^2}\Big)\Big(a+b+c\Big)^2\ge \Big( \sum_{cyc}\sqrt[3]{\frac{x^3}{a^2}}\cdot \sqrt[3]{a}\cdot \sqrt[3]{a}\Big)^3=(x+y+z)^3$$
__________________
Vouloir c'est pouvoir 08 ตุลาคม 2012 08:03 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ จูกัดเหลียง |
#118
|
||||
|
||||
เห็นในกระทู้ปักหมุดไม่มีขอลงในนี้ละกันครับ (ถ้าซ้ำแล้วขออภัย)
พีชคณิต ต.ค. 2552 $ 1.จงหารากของสมการ \sqrt{\frac{x}{x+1}+20}-\sqrt{\frac{x}{x+1}+4} = 2 $ $ 2.กำหนดให้a,b,c เป็นจำนวนจริงที่ไม่ใช่ 0 โดยที่ a+b+c=0 จงแสดงว่า $ $ \frac{a^2+b^2}{a+b}+\frac{b^2+c^2}{b+c}+\frac{c^2+a^2}{c+a} = \frac{a^3}{bc}+\frac{b^3}{ca}+\frac{c^3}{ab} $ $ 3.กำหนดให้a,bเป็นจำนวนเต็มซึ่ง a\not= b และP(x) เป็นพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม $ $จงพิสูจน์ว่าP(a)-P(b)จะหารด้วย a-b ลงตัวเสมอ $ $ 4.กำหนดf(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d ซึ่ง f(1)=827,f(2)=1654และf(3)=2481 $ $จงหาค่าของ\frac{f(9)+f(-5)}{4} $ $ 5.จงหาจำนวนเต็มบวก x,y ทั้งหมดที่ทำให้ 2x(xy-2y-3)=(x+y)(3x+y) $
__________________
You may face some difficulties in your ways But its Good right ? |
#119
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
__________________
I'm god of mathematics. |
#120
|
||||
|
||||
1.กำหนดตัวแปรใหม่ ดูครับ
2. $a+b+c = 0 $ $$\sum_{cyc} \dfrac{a^2+b^2}{a+b} $$ $$= \sum_{cyc} \dfrac{a^2+b^2}{-c}$$ $$=-\sum_{cyc} \dfrac{a^2+b^2}{c} $$ $$= -\sum_{cyc} a^2(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})$$ $$=-\sum_{cyc} a^2(\dfrac{b+c}{bc}) $$ $$= -\sum_{cyc} \dfrac{-a^3}{bc} $$ $$= \sum_{cyc} \dfrac{a^3}{bc} $$ 3. ให้ $P(x) = a_0+a_1x+a_2x^2+....+a_nx^n$ ก็น่าจะชัดแล้วนะครับ 4. ให้ รากของ $f(x) $คือ $1,2,3,k $ $f(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-k)+827x $ 08 ตุลาคม 2012 19:51 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Euler-Fermat |
|
|