|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#106
|
||||
|
||||
ข้อ 30 ครับ
From Cauchy-Schwarz Inequality $ac+bd \leq \sqrt{a^2+c^2}\sqrt{b^2+d^2}$ From A.M.-G.M. Inequality $\sqrt{a^2+c^2}\sqrt{b^2+d^2} \leq \dfrac{a^2+b^2+c^2+d^2}{2}$ $\therefore ac+bd \leq \dfrac{a^2+b^2+c^2+d^2}{2}$ $a^2+b^2+c^2+d^2 \geq 2(ac+bd)$ $a^2+b^2+c^2+d^2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd \geq 2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd+2(ac+bd)$ $(a+b+c+d)^2 \geq 2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd+2ac+2bd$ $\dfrac{(a+b+c+d)^2}{2} \geq ab+ac+ad+bc+bd+cd+ac+bd$ $\dfrac{1}{ab+ac+ad+bc+bd+cd+ac+bd} \geq \dfrac{1}{\dfrac{(a+b+c+d)^2}{2}} ...(*)$ From modified Cauchy-Schwarz Inequality $\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+d}+\dfrac{c}{d+a}+\dfrac{d}{a+b}$ $=\dfrac{a^2}{ab+ac}+\dfrac{b^2}{bc+bd}+\dfrac{c^2}{cd+ca}+\dfrac{d^2}{da+db}$ $\geq \dfrac{(a+b+c+d)^2}{ab+ac+bc+bd+cd+ca+da+db}$ $\geq \dfrac{(a+b+c+d)^2}{\dfrac{(a+b+c+d)^2}{2}}=2 ...(From (*))$ $\therefore \dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+d}+\dfrac{c}{d+a}+\dfrac{d}{a+b}\geq 2$ จบการพิสูจน์ครับ
__________________
หมั่นฝึกฝนตนเองเป็นประจำ แม้ตรากตรำก็ต้องยอมสู้ฝึกฝน แม้เหนื่อยยากเราก็ต้องเฝ้าอดทน เพื่อเป็นผลงอกงามยามพบชัย "ความพยายามอยู่ที่ไหนความสำเร็จอยู่ที่นั่น" Fit for Math!!! 11 มกราคม 2009 14:44 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 8 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ warutT |
#107
|
||||
|
||||
ขอโจทย์เพิ่มหน่อยครับ ขอเป็น step ไปเลยครับ ขอยากขึ้นอีกนิดจะได้ฝึกครับผม ขอบพระคุณครับผม
__________________
หมั่นฝึกฝนตนเองเป็นประจำ แม้ตรากตรำก็ต้องยอมสู้ฝึกฝน แม้เหนื่อยยากเราก็ต้องเฝ้าอดทน เพื่อเป็นผลงอกงามยามพบชัย "ความพยายามอยู่ที่ไหนความสำเร็จอยู่ที่นั่น" Fit for Math!!! 10 มกราคม 2009 20:50 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ warutT |
#108
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
แต่มาถูกทางแล้ว แค่นับจำนวนเทอมผิดไปเท่านั้น
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#109
|
||||
|
||||
ผมแก้แล้วครับ สะเพร่าไปเอง
__________________
หมั่นฝึกฝนตนเองเป็นประจำ แม้ตรากตรำก็ต้องยอมสู้ฝึกฝน แม้เหนื่อยยากเราก็ต้องเฝ้าอดทน เพื่อเป็นผลงอกงามยามพบชัย "ความพยายามอยู่ที่ไหนความสำเร็จอยู่ที่นั่น" Fit for Math!!! |
#110
|
|||
|
|||
เพิ่มโจทย์ให้ครับ คราวนี้ไม่จำกัดวืธี
$a,b,c>0$ 32. $abc=1$ $~~~~~\dfrac{a^2b}{a+1}+\dfrac{b^2c}{b+1}+\dfrac{c^2a}{c+1}\geq\dfrac{3}{2}$ 33. $\dfrac{a^2}{b^2+bc+c^2}+\dfrac{b^2}{c^2+ca+a^2}+\dfrac{c^2}{a^2+ab+b^2}\geq 1$ 34. $\dfrac{a}{b+2c}+\dfrac{b}{c+2a}+\dfrac{c}{a+2b}\geq 1$ 35. $a+b+c=1$ $~~~~~\dfrac{a}{1+bc}+\dfrac{b}{1+ca}+\dfrac{c}{1+ab}\geq\dfrac{9}{10}$ 36. $x,y$ เป็นจำนวนจริงใดๆ $~~~~~(xy+2)^2+(x-2)^2+(y-2)^2\geq 7$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น 12 มกราคม 2009 15:15 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nooonuii |
#111
|
||||
|
||||
ข้อ 34 ครับ
From Cauchy-Schwarz Inequality $ab+bc+ca \leq \sqrt{a^2+b^2+c^2}\sqrt{a^2+b^2+c^2}=a^2+b^2+c^2 ...(*)$ From modified Cauchy-Schwarz Inequality $\dfrac{a}{b+2c}+\dfrac{b}{c+2a}+\dfrac{c}{a+2b}$ $=\dfrac{a^2}{ab+2ac}+\dfrac{b^2}{bc+2ab}+\dfrac{c^2}{ac+2bc}$ $\geq\dfrac{(a+b+c)^2}{ab+2ac+bc+2ab+ac+2bc}$ $=\dfrac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ac+2ab+2bc+2ac}$ $\geq \dfrac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac} ...(From (*))$ $=\dfrac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2}=1$ $\therefore \dfrac{a}{b+2c}+\dfrac{b}{c+2a}+\dfrac{c}{a+2b}\geq 1$ จบการพิสูจน์ครับผม
__________________
หมั่นฝึกฝนตนเองเป็นประจำ แม้ตรากตรำก็ต้องยอมสู้ฝึกฝน แม้เหนื่อยยากเราก็ต้องเฝ้าอดทน เพื่อเป็นผลงอกงามยามพบชัย "ความพยายามอยู่ที่ไหนความสำเร็จอยู่ที่นั่น" Fit for Math!!! 12 มกราคม 2009 19:41 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ warutT |
#112
|
||||
|
||||
ข้อ 35 ครับ
จาก $a+b+c=1$ From A.M.-G.M. Inequality $\dfrac{a+b+c}{3} \geq \sqrt{3}{abc}$ $\dfrac{1}{3} \geq \sqrt{3}{abc}$ $\dfrac{1}{27} \geq abc$ $\dfrac{1}{9} \geq 3abc ...(*)$ From modified Cauchy-Schwarz Inequality $\dfrac{a}{1+bc}+\dfrac{b}{1+ca}+\dfrac{c}{1+ab}$ $=\dfrac{a^2}{a+abc}+\dfrac{b^2}{b+abc}+\dfrac{c^2}{c+abc}$ $\geq \dfrac{(a+b+c)^2}{a+b+c+3abc}=\dfrac{1}{1+3abc}$ $\geq \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{9}} =\dfrac{9}{10} (From(*))$ $\therefore \dfrac{a}{1+bc}+\dfrac{b}{1+ca}+\dfrac{c}{1+ab}\geq\dfrac{9}{10}$ จบการพิสูจน์ครับผม
__________________
หมั่นฝึกฝนตนเองเป็นประจำ แม้ตรากตรำก็ต้องยอมสู้ฝึกฝน แม้เหนื่อยยากเราก็ต้องเฝ้าอดทน เพื่อเป็นผลงอกงามยามพบชัย "ความพยายามอยู่ที่ไหนความสำเร็จอยู่ที่นั่น" Fit for Math!!! 12 มกราคม 2009 19:57 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ warutT |
#113
|
||||
|
||||
ข้อ 33 ครับ
From Cauchy-Schwarz Inequality $ab+bc+ca \leq a^2+b^2+c^2 ...(*)$ $2(ab+bc+ca) \leq 2(a^2+b^2+c^2)$ $a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca) \leq 3(a^2+b^2+c^2)$ $(a+b+c)^2 \leq 3(a^2+b^2+c^2) ...(**)$ From modified Cauchy-Schwarz Inequality $\dfrac{a^2}{b^2+bc+c^2}+\dfrac{b^2}{c^2+ca+a^2}+\dfrac{c^2}{a^2+ab+b^2}$ $\geq \dfrac{(a+b+c)^2}{b^2+bc+c^2+c^2+ca+a^2+a^2+ab+b^2}$ $=\dfrac{(a+b+c)^2}{2(a^2+b^2+c^2)+ab+bc+ca}$ $\geq \dfrac{(a+b+c)^2}{2(a^2+b^2+c^2)+a^2+b^2+c^2} (From (*))$ $=\dfrac{(a+b+c)^2}{3(a^2+b^2+c^2)}$ $\geq \dfrac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2}=1 (From (**))$ $\therefore \dfrac{a^2}{b^2+bc+c^2}+\dfrac{b^2}{c^2+ca+a^2}+\dfrac{c^2}{a^2+ab+b^2}\geq 1$ จบการพิสูจน์ครับผม
__________________
หมั่นฝึกฝนตนเองเป็นประจำ แม้ตรากตรำก็ต้องยอมสู้ฝึกฝน แม้เหนื่อยยากเราก็ต้องเฝ้าอดทน เพื่อเป็นผลงอกงามยามพบชัย "ความพยายามอยู่ที่ไหนความสำเร็จอยู่ที่นั่น" Fit for Math!!! |
#114
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#115
|
|||
|
|||
33.กระจาย แล้วจะเหลือ $\sum_{cyc}a^6+\sum_{sym}a^{5}b\geq\sum_{cyc}a^3b^3+\sum_{sym}a^3b^2c$ ซึ่งเป็นจริงโดยชัดเจนจากอสมการ Muirhead (หรือจะใช้ Weighted AM-GM พิสูจน์ก็ได้ครับ)
36.อสมการสมมูลกับ $(xy+1)^2+(x+y-2)^2\geq 0$
__________________
จะคิดเลขก็ติดขัด จะคิดรักก็ติดพัน 13 มกราคม 2009 12:27 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ beginner01 |
#116
|
|||
|
|||
ข้อ 33 มีวิธีแบบไม่กระจายด้วยครับ ผมใช้อสมการนี้
$bc\leq\dfrac{b^2+c^2}{2}$ ยังเหลือข้อ 32 ข้อเดียวแล้วครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#117
|
||||
|
||||
ข้อ 33 วิธีโคชี
$\sum_{cyc} \frac{a^2}{b^2+bc+c^2}=\sum_{cyc} \frac{a^4}{a^2b^2+a^2bc+a^2c^2}\geq (\frac{(\sum_{cyc} a^2)^2}{2\sum_{cyc} a^2b^2+\sum_{cyc} a^2bc})\geq 1$ ข้อ 32 แทน $a=\frac{x}{y}$ ในทำนองเดียวกันกับ $ b,c$ ได้ว่าเราต้องพิสูจน์ $\sum_{cyc} \frac{x^2}{xy+xz}\geq 1$ ซึ่งเห็นได้ชัดว่าเป็นจริงจากอสมการโคชี ข้อ 37 Prove that for $a,b,c>0$ $\sum_{cyc} \frac{1}{a^2+ab+b^2}\geq \frac{9}{(a+b+c)^2}$
__________________
Rose_joker @Thailand Serendipity 13 มกราคม 2009 20:41 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ RoSe-JoKer |
#118
|
|||
|
|||
เติมโจทย์ให้ครับ $a,b,c>0$
37. (Rose-joker) $~~~~~\dfrac{1}{a^2+ab+b^2}+\dfrac{1}{b^2+bc+c^2}+\dfrac{1}{c^2+ca+a^2}\geq\dfrac{9}{(a+b+c)^2}$ 38. $\dfrac{ab}{a+2b}+\dfrac{bc}{b+2c}+\dfrac{ca}{c+2a}\leq\dfrac{a+b+c}{3}$ 39. $(a+b)^3+(b+c)^3+(c+a)^3\leq 8(a^3+b^3+c^3)$ 40. $(a^2+bc)(b^2+ca)(c^2+ab)\leq (a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)$ 41. $abc=1$ $~~~~~\dfrac{1}{a(1+b)}+\dfrac{1}{b(1+c)}+\dfrac{1}{c(1+a)}\geq\dfrac{3}{2}$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น 15 มกราคม 2009 15:16 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nooonuii |
#119
|
|||
|
|||
38.ใช้ AM-HM กับทีละก้อนทางซ้าย
จะได้ LHS$\leq\frac{1}{3}\left(\frac{a+b+b}{3}+\frac{b+c+c}{3}+\frac{c+a+a}{3}\right)=\frac{a+b+c}{3}$ 39.ผมคิดวิธีใช้โคชีหรือ AM-GM ไม่ออก จาก $\frac{a^3+b^3}{2}\geq\left(\frac{a+b}{2}\right)^3\rightarrow 4(a^3+b^3)\geq(a+b)^3$ (โดย Power-mean) บวกแบบ cyclic ไป จะได้อสมการโจทย์พอดี 40.จากโคชี $(a^2+bc)^2\leq(a^2+b^2)(a^2+c^2)$ ก็คูณแบบ cyclic ไป จะได้อสมการโจทย์พอดี 41.แทน $a=\frac{x}{y},b=\frac{y}{z},c=\frac{z}{x}$ จะได้ฝั่งซ้ายเป็น $\sum_{cyc}\frac{xy}{yz+xz}$ ซึ่งมีค่ามากกว่า $\frac{3}{2}$ โดยอสมการ Nesbitt (จะใช้โคชีหรือ AM-HM พิสูจน์อสมการ Nesbitt ก็ได้) (ช่วย hint ข้อ 37. สักนิดได้ไหมครับ )
__________________
จะคิดเลขก็ติดขัด จะคิดรักก็ติดพัน 16 มกราคม 2009 11:33 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 6 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ beginner01 เหตุผล: เติมวิธีทำข้ออื่นๆ |
#120
|
|||
|
|||
37.กระจายครับ
เป็นไปได้ ใครใจดีช่วยมาเติมโจทย์ให้ทีครับ
__________________
จะคิดเลขก็ติดขัด จะคิดรักก็ติดพัน |
|
|