จงหาอัตราส่วนความยาว KH : GB

[Peterpan]

จงหาอัตราส่วนความยาว KH : GB

[gon]

นี่มันโจทย์ปราบเซียนจาก MY MATHS ฉบับเล่มล่าสุดไม่ใช่หรือครับ. ???

ก็อย่างที่ ผู้เขียนแนะนำไว้ในเฉลยคร่าว ๆ นั้นก็คือ ให้ลาก BG และ AD ออกไปพบกัน สมมติว่าเป็นจุด I ละกัน

จากนั้นให้นั่งมองรูปดี ๆ จะเห็นรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน 3 รูป

เอาเป็นแบบนี้ก็ได้ สมมติให้ BF = 2x, FC = 4x , AE = ED = 3x

ดังนั้นจะได้ว่า DI = ??? (ดูสามเหลี่ยม BCK กับ EIK)

ต่อไปสมมติให้ BH = a, HK = b , KG = c , GI = d

สิ่งที่ต้องการหาคือ $\frac{b}{a+b+c}$

จากนั้นดูสามเหลี่ยมคล้ายทั้งสาม แล้วตั้งสมการ แล้วเล่นสมการ จะได้ว่า $b = \frac{7a}{4} , c = \frac{a+b}{3}$ แทนค่าก็จะได้คำตอบ $\frac{21}{44}$

[Peterpan]

ขอบคุณพี่ gon มาก เห็นว่าเป็นโจทย์ปราบเซียน เลยนำมาลงที่นี่ เผื่อคนที่ไม่ได้รับ MY MATHS

[จอมยุทธแห่งบ้านหนองเข้]

คุณ gon ช่วยวาดรูป และอธิบายทีละขั้นด้วยครับ นึกไม่ออก

[Puriwatt]

พอดีคุณจอมยุทธแห่งบ้านหนองเข้ ขอให้ผมช่วยวาดรูปให้ ก็เลยทำตามที่ขอครับ

STEP II -สามเหลี่ยมคล้ายคู่ BCK กับ IEK
เนื่องจาก IE = BC = 6x ดังนั้น BK = IK หรือ $ a+b = c+d $

STEP III-สามเหลี่ยมคล้ายคู่ BFH กับ IAH
เนื่องจาก BF = 2x และ AI = 9x ดังนั้น (a) : (b+c+d) = 2 : 9
จัดรูปใหม่ได้ 9.(a) = 2.(b+c+d) = 2.(b+(a+b)) = 2.(a+2b)
ดังนั้น $ 7.a = 4.b --> a = \frac{4}{7}.b $

STEP IV-สามเหลี่ยมคล้ายคู่ BCG กับ IAB
เนื่องจาก BC = 6x และ AI = 9x ดังนั้น (a+b+c) : (a+b+c+d) = 6 : 9
จัดรูปใหม่ได้ 9.(a+b+c) = 6.(a+b+c+d) = 6.(2.(a+b)) = 12.(a+b)
ดังนั้น $9.c = 3.(a+b) = 3.(\frac{4}{7}.b + b) --> c = \frac{11}{21}.b$

แล้วจะได้ $\frac{KH}{GB}=\frac{b}{a+b+c} = \frac{b}{\frac{4}{7}.b+b+\frac{11}{21}b} = \frac{21}{44}$ เหมือนคุณgonครับ