|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
||||
|
||||
โจทย์อนุกรม 2 ข้อ
ข้อ 1 จงหาค่าของ $\qquad \quad \sum\limits_{k= 1}^{2012} {\left( {\sin \dfrac{{2k\pi }}{{2013}} + i\cos \dfrac{{2k\pi }}{{2013}}} \right)}$
ข้อ 2 ต้องบวกทั้งหมดกี่พจน์ จึงทำให้ $\qquad \dfrac{3}{{{1^2} \cdot {2^2}}} + \dfrac{5}{{{2^2} \cdot {3^2}}} + \dfrac{7}{{{3^2} \cdot {4^2}}} + ... = \dfrac{{624}}{{625}}$ 01 สิงหาคม 2012 01:58 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ sahaete เหตุผล: แก้ตรง sigma ครับ |
#2
|
||||
|
||||
1. ซิกมา i หรือ k ครับ
2. $\frac{2n+1}{n^2(n+1)^2}=\frac{1}{n^2}-\frac{1}{(n+1)^2}$ 01 สิงหาคม 2012 01:52 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ polsk133 |
#3
|
||||
|
||||
ขอแก้เป็น k ครับ ขอบคุณครับ
|
#4
|
||||
|
||||
ข้อ 2. ตอบ 24 พจน์ครับ
จาก $\frac{3}{1^2*2^2}=\frac{3}{4}$ $\frac{3}{1^2*2^2}+\frac{5}{2^2*3^2}=\frac{8}{9}$ $\frac{3}{1^2*2^2}+\frac{5}{2^2*3^2}+\frac{7}{3^2*4^2}=\frac{15}{16}$ เราจะได้ว่าห่างกัน 5,7,9,11,.... ไปเรื่อยๆ จาก 624=621+3 เเสดงว่า 5+7+9+...+x=621 $\frac{(x-3)(x+5)}{4}=621$ $x^2+2x-2499=0$ (x+51)(x-49)=0 x=49 เป็นผลต่างตัวสุดท้าย จะได้ว่าผลต่าง 5,7,...,49 มีทั้งหมด 23 พจน์ เเต่เนื่องจากเเต่ต้องการจำนวนพจน์ที่บวกกันจึงมี 24 พจน์ ถ้าทำไม่เข้าใจก็ขออภัยด้วยน่ะครับ
__________________
"Végre nem butulok tovább" ("ในที่สุด ข้าพเจ้าก็ไม่เขลาลงอีกต่อไป") 01 สิงหาคม 2012 02:40 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ cardinopolynomial |
#5
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
$ \because \ \dfrac{5}{{{2^2} \cdot {3^2}}} = \dfrac{5}{4 \cdot 9} = \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{9}$ $ \because \ \dfrac{7}{{{3^2} \cdot {4^2}}} = \dfrac{7}{9 \cdot 16} = \dfrac{1}{9} - \dfrac{1}{16}$ . . . $ \because \ \dfrac{45}{{{24^2} \cdot {25^2}}} = \dfrac{45}{576 \cdot 625} = \dfrac{1}{576} - \dfrac{1}{625}$ จะได้ว่า $\qquad \dfrac{3}{{{1^2} \cdot {2^2}}} + \dfrac{5}{{{2^2} \cdot {3^2}}} + \dfrac{7}{{{3^2} \cdot {4^2}}} + ...+ \dfrac{45}{{{24^2} \cdot {25^2}}}... = 1 - \dfrac{1}{625} = \dfrac{{624}}{{625}}$ ตอบ 24 พจน์
__________________
มาหาความรู้ไว้ติวหลาน แต่หลานไม่เอาเลขแล้ว เข้ามาทำเลขเอามันอย่างเดียว ความรู้เป็นสิ่งเดียวที่ยิ่งให้ ยิ่งมีมาก รู้อะไรไม่สู้ รู้จักพอ (ยกเว้นความรู้ ไม่ต้องพอก็ได้ หาไว้มากๆแหละดี) (แต่ก็อย่าให้มากจนท่วมหัว เอาตัวไม่รอด) |
#6
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
จะได้ว่า $(\omega^k)^{2013}=1$ ทุก $k=1,2,...,2013$ ดังนั้น $\omega,\omega^2,...,\omega^{2013}$ เป็นรากของพหุนาม $z^{2013}-1$ จากความสัมพันธ์ของรากและสัมประสิทธิ์พหุนามจะได้ $\omega+\omega^2+\cdots+\omega^{2013}=0$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น 01 สิงหาคม 2012 17:24 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nooonuii |
#7
|
||||
|
||||
ข้อ 1 จงหาค่าของ $\qquad \quad \sum\limits_{k= 1}^{2012} {\left( {\sin \dfrac{{2k\pi }}{{2013}} + i\cos \dfrac{{2k\pi }}{{2013}}} \right)}$
เวอร์ชั่นของผมน่าจะคล้ายๆของคุณNOOONUII ใช้ความรู้เรื่องของพิกัดเชิงขั้วของจำนวนเชิงซ้อน แต่ยาวและเยิ่นเย้อกว่าเยอะเลย มาพิจารณา $\sin \frac{2\pi }{2013}+i\cos \frac{2\pi }{2013}$ $=\cos( \frac{\pi }{2} -\frac{2\pi }{2013})+i\sin(\frac{\pi }{2} - \frac{2\pi }{2013})$ ผมมองเป็นจำนวนเชิงซ้อนอีกสองจำนวนคือ $i=\cos( \frac{\pi }{2})+i\sin(\frac{\pi }{2})$ กับ $1=\cos(2\pi)+i\sin(2\pi)$ ใช้เรื่องรากที่ 2013 จะได้ว่า $1=\cos(\frac{2\pi+2m\pi }{2013})+i\sin(\frac{2\pi +2m\pi}{2013})$ เมื่อ $m\in \left\{\,0,1,2,...,2012\right\} $ เป็นคำตอบของสมการ $x^{2013}=1$ ให้ $m=0$ จะได้ว่า $1=\cos(\frac{2\pi}{2013})+i\sin(\frac{2\pi}{2013})$ จากเรื่องการหารของจำนวนเชิงซ้อนจะได้ว่า $i=\cos( \frac{\pi }{2} -\frac{2\pi}{2013})+i\sin(\frac{\pi }{2} - \frac{2\pi}{2013})$ โจทย์ถาม $\qquad \quad \sum\limits_{k= 1}^{2012} {\left( {\sin \dfrac{{2k\pi }}{{2013}} + i\cos \dfrac{{2k\pi }}{{2013}}} \right)}$ $=\qquad \quad \sum\limits_{k= 1}^{2012} {\cos (\frac{\pi }{2} -\frac{2\pi}{2013})k+ i\sin (\frac{\pi }{2} -\frac{2\pi}{2013})k}$ จากเรื่องการยกกำลังของจำนวนเชิงซ้อนจะได้ว่า เท่ากับ $i+i^2+i^3+...+i^{2011}+i^{2012}$ จาก $i+i^2+i^3+i^4=i+(-1)+(-i)+1=0$ ดังนั้นจะได้ว่า $i+i^2+i^3+...+i^{2011}+i^{2012}=0$ ไม่ได้ใช้เรื่องจำนวนเชิงซ้อนนานแล้ว ต้องไปขุดแบบเรียนคณิตศาสตร์ม.ปลายมาดู มึนๆเหมือนกัน
__________________
"ถ้าเราล้มบ่อยๆ ในที่สุดเราจะรู้ว่าถ้าจะล้ม ล้มท่าไหนจะเจ็บน้อยที่สุด และรู้อีกว่าต่อไปทำยังไงจะไม่ให้ล้มอีก ดังนั้นจงอย่ากลัวที่จะล้ม"...อาจารย์อำนวย ขนันไทย ครั้งแรกในชีวิตที่สอบคณิตสมาคมคณิตศาสตร์เมื่อปี2533...ผมได้แค่24คะแนน(จากร้อยคะแนน) 01 สิงหาคม 2012 13:28 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ กิตติ |
#8
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
สวยงามมากครับ |
|
|