พื้นเอียง

ช่วยทำโจทย์ข้อนี้หน่อยนะ (โจทย์จะคล้าย ๆ วิชาฟิสิกส์แต่ไม่ใช่วิชาฟิสิกส์..เป็นวิชาเลขนั่นแหละ)
วัตถุหนัก 48 ปอนด์ ถูกปล่อยจากสภาพนิ่งจากยอดสะพานลื่นซึ่งทำมุมเอียง 30 องศาจากแนวระดับ มีอากาศเป็นแรงต้าน 1/2v (เมื่อ v แทนความเร็วของวัตถุ) ส.ป.ส.แรงเสียดทานเท่ากับ 1/4 จงหา ความเร็วของวัตถุหลังจากปล่อยวัตถุได้ 2 วินาที และถ้าสะพานลื่นยาว 24 ฟุต จงหาความเร็วขณะที่วัตถุตกลงมาล่างสุด

ขอช่วยจริง ๆ นะ จะสอบแล้วอาทิตย์หน้านี้แหละ ..Thank You

[gon]

บอกสะพานลื่นแล้วทำไมให้ ส.ป.ส แรงเสียดทานมาล่ะครับ.
แล้วทำไมใช้ฟิกส์แก้ไม่ได้หรือครับ.
คณิตศาสตร์เรื่องใด ครับ ?
แล้วแรงลมที่ว่าน่ะ จริง ๆ แรงต้านลมมันต้อง
มากขึ้นตามความเร็ว v ที่เพิ่มขึ้นไม่ใช่หรือครับ.
มันควรจะเป็น v/2 มากกว่า 1/2v

เป็นเรื่องสมการเชิงอนุพันธ์ที่เกี่ยวกับเรื่องการประยุกต์ทางกลศาสตร์ครับ จริง ๆ แล้วมันก็ overlap กับฟิสิกส์นิดหน่อย ก็คือว่าการแก้ปัญหาของโจทย์นี้ใช้กฎการเคลื่อนที่ข้อที่ 2 ของนิวตัน นั่นก็คือใช้สูตร F = ma
F คือแรงของวัตถุ (สำหรับข้อนี้ต้องแตกแรงเป็น 3 แรง)
m คือมวลวัตถุ คิดได้จากสูตร w/g เมื่อ w เป็นน้ำหนักวัตถุ และ g คือแรงโน้มถ่วงมีค่าเท่ากับ 32
a คือความเร่งของวัตถุ หรือ dv/dt
หลังจากนั้นก็เอา มาสร้างเป็นสมการเชิงอนุพันธ์แล้วแก้ปัญหาออกมา ที่จริงผมคิดออก(แค่ครึ่งแรก)แล้วแต่ไม่รู้ว่าถูกหรือเปล่าเลยขอช่วยทำหน่อยเท่านั้นเอง
ส่วนเรื่องลมต้านก็คือ v/2 ครับ แต่พี่คงจะเข้าใจผดว่า 1หารกับ 2v ก็แค่นั้นเอง ok นะครับ

[gon]

พี่ไม่กล้าโชว์ความโง่ของพี่ออกมาให้ดูหรอกครับ
เพราะเรียนมาแต่ ปี 2 นี่ก็เกือบจะ 5 ปี แล้ว
ในวิชา applied math
เคยเปิดไปดูข้อสอบเก่า
ปรากฎว่า ไม่รู้เรื่องแล้วลืมหมด
ยังงงๆ เลยว่าเรียนอะไรมาบ้าง

ภาวนาให้น้องคิดถูกแล้วกันนะครับ.
หรือไม่ก็มีคนมาช่วยเสริมบ้างนะ

[TOP]

ลองเขียนสมการอนุพันธ์ที่ derive มาให้ดูสิ เผื่อคนที่เขาแก้สมการอนุพันธ์คล่อง แต่ไม่อยาก derive สมการเองจะได้ช่วยคิดให้ (ขี้เกียจ derive เช่นกัน )

ไม่แน่ใจว่าถูกหรือเปล่านะ
(48 sin 30)-(1/2)v -(1/4)(48 cos 30) = 48/32 dv/dt

เป็นสมการอนุพันธ์แบบแยกตัวแปร แก้ไม่ยาก แต่จะงงที่ตัวเลข ส่วนคำตอบ(เฉพาะครึ่งแรก)ผมจำไม่ได้แล้ว ส่วนครึ่งหลังจนปัญญาจริง ๆ ครับ

[kerati]

น่าเสียดายนะ ที่ผมpaste รูปลงบนนี้ไม่เป็น เพราะอยากแสดงรูปการแตกแรงให้ดูด้วย แต่ไม่เป็นไร ลองคิดตามไปละกัน
แรงทั้งหมดมี 3 แรง นั่นคือ
1. force from gravity = mg
2. Drag force (แรงลม) = v/2
3. Friction = uN (โจทย์ข้อนี้กำกวมนะ แต่ถ้าจะให้ตีความ เนื่องจากให้สัมประสิทธ์แรงเสียดทานมาด้วย ดังนั้นผมคิดว่าผู้ตั้งโจทย์คงหมายความถึงสะพานลื่นว่าเป็นสะพานที่พาดเอียงให้เด็กลื่นเล่น ไม่ได้หมายความว่าสะพานไม่มีแรงเสียดทาน)

รวมแรงแนว y =0 จะได้ N=mgcos(30)=1330.22
รวมแรงแนว x=0,
mgsin30 -v/2-un=ma
48*32*sin30-v/2-1330.22/4=48a
768-v/2-332.553=48a
v/2+435.45=48a
a=dv/dt
96dv/dt=v+870.9
Int(96/(v+870.9))dv=Int (dt) ; Int = integrate
96 ln |v+870.9| =t+c
แทนค่า ปล่อยจากที่นิ่ง t=0, v=0
c=96ln|870.9|=649.87

ฉะนั้น ได้ว่า
96 ln |v+870.9| = t+649.87

ดังนั้น ในคำถามข้อที่ 1 แทนค่า t =2 จะได้ v=18.29 ft/s

สำหรับคำถามข้อ 2 แทนค่า v=ds/dt
คราวนี้ยากหน่อย จัดรูปหน่อยนะ

ln |v+870.9|=t/96+6.77
take e ทั้งสองข้าง
v+870.9=871.31*e^(t/96)
ds/dt=871.31*e^(t/96)-870.9
s=Int (871.31*e^(t/96)-870.9) dt
s=96*871.31e^(t/96)-870.9t+c

แทนค่าหา c, t=0 , s=0
c=-96*871.31=83645.94

s=96*871.31e^(t/96)-870.9t+83645.94
ฉะนั้นถ้ากระดานยาว 24 ฟุต จะใช้เวลาเท่ากับ 2.246 วินาที (ตรงนี้คงต้องใช้เครื่องคิดเลข ช่วยtrial and error)

แทนค่าเวลานี้ เข้าไปที่สมการ v-t ข้างบน ก็จะได้ v=20.57 ft/s

*ถ้าคิดเลขผิดอย่างไรขออภัยด้วยนะ*

หวังว่าคงจะช่วยให้คุณนิวตัน เข้าใจได้นะครับ โจทย์ข้อนี้เป็นตัวอย่างที่ดีของ Apply calculus ผมว่าคุณคงกำลังเรียน Eng. Dynamic อยู่แน่ๆเลย ยังไงถ้ามีอะไรสงสัยก็ถามมาได้นะ ยินดีช่วย

ผมอยากได้ตัวเลขที่เป็นเศษส่วนมากว่าครับ จะได้ดูง่ายหน่อยนะ ผมคิดว่าคำนวนให้เสร็จซะก่อน แล้วค่อยคิดเป็นทศนิยมทีเดียวเลยดีกว่านะครับ

ขอบคุณคุณ kerati มากครับที่มาช่วยอธิบาย ทำให้ผมได้ทบทวนฟิสิกส์ไปด้วย
ผมลองทำตามวิธีของคุณ kerati ดู คิดว่าเครื่องหมายหน้า v ในบรรทัด
v/2+435.45=48a
มันน่าจะเป็นลบมากกว่านะครับ ถ้าเป็นเช่นนั้นจริงค่า v ก็ควรจะเป็น
v = k*(1 - e^(-t/96))
โดยที่ k = 12*g*(4 - sqrt(3))
ส่วน s ก็ควรจะเป็น
s = k*(t - 96 + 96*e^(-t/96)) = k*t - 96*v

ถ้าให้ g = 32

เมื่อ t = 2 จะได้ v = 384*(4 - sqrt(3))*(1 - e^(-1/48)) = 17.9559...

เมื่อ s = 24 ใช้ numerical method หา t ได้เท่ากับ T = 2.309467...
ดังนั้น v = (k*T - 24)/96 = 20.701...

อยากให้มีใครอีกสักคนมาช่วยเช็คคำตอบจังเลย

[kerati]

ขอบคุณคุณwarut นะครับ ที่ช่วยเช็คคำตอบ ผมว่ามันคงผิดเครื่องหมายจริงๆด้วย

ส่วนคุณนิวตันครับ การที่ผมแสดงวิธีทำให้ดูเนี่ย ตั้งใจจะอธิบายหลักการและวิธีการให้คุณดู จะได้พยายามทำความเข้าใจและุคุณจะได้ทำเองได้ถ้าเจอโจทย์คำถามในแนวนี้อีก ดังนั้นคุณไม่น่าจะต้องขอให้ผมทำใหม่โดยทิ้งคำตอบเป็นเศษส่วนนะครับ ผมอยากให้คุณไปลองทำเอาเองมากกว่า ลองดูนะครับ

[TOP]

ตอนนี้ทางเรา เพิ่งจะพัฒนาเว็บบอร์ดให้มีการจัดรูปและ ใช้สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ขึ้นมาส่วนหนึ่ง เพื่อให้อ่านสมการได้ง่ายขึ้น (หวังว่าคงพอใช้ กล้อมแกล้มไปได้นะครับ ) ถือโอกาสแสดงให้เห็นกันในตัวอย่างนี้เลย

สำหรับปัญหาข้อนี้ เท่าที่ลองคิดดูได้ผลออกมาอย่างนี้นะ
จาก SF = m dv/dt
mg sin 30ฐ - (mg/4) cos 30ฐ - v/2 = m dv/dt
dv/dt + v/(2m) = g sin 30ฐ - (g/4) cos 30ฐ
(D + 1/(2m)) v = g sin 30ฐ - (g/4) cos 30ฐ
D(D + 1/(2m)) v = 0
ดังนั้นผลเฉลยของสมการนี้จัดอยู่ในรูป v = c₁ + c₂ e^-t/(2m)
โดยมี complementary solution เป็น v = c₂e^-t/(2m)
และ particular solution เป็น v = c₁

กรณี particular solution : v = c₁
แทนค่าลงไปจะได้ว่า c₁/(2m) = g sin 30ฐ - (g/4) cos 30ฐ
หรือ c₁ = 2m(g sin 30ฐ - (g/4) cos 30ฐ)
นั่นคือ v = 2m(g sin 30ฐ - (g/4) cos 30ฐ)
แทนค่า v กลับลงไปในผลเฉลยทั้งหมดจะได้ v = 2m(g sin 30ฐ - (g/4) cos 30ฐ) + c₂ e^-t/(2m)

กรณี complementary solution
เนื่องจาก initial condition คือ v = t = 0 แทนค่าลงไปจะได้
0 = 2m(g sin 30ฐ - (g/4) cos 30ฐ) + c₂
c₂ = -2m(g sin 30ฐ - (g/4) cos 30ฐ)
ดังนั้นผลเฉลยทั้งหมดของสมการนี้คือ v = 2m(g sin 30ฐ - (g/4) cos 30ฐ)(1 - e^-t/(2m))

ความเร็วของวัตถุหลังจากปล่อยวัตถุได้ 2 วินาที
แทนค่า t = 2 จะได้ว่า v = 2m(g sin 30ฐ - (g/4) cos 30ฐ)(1 - e^-1/m)
แทนค่าเป็นตัวเลขจะได้ v = 17.9559 ft/s

ความเร็วของวัตถุขณะตกลงมาล่างสุด
เนื่องจาก ds/dt = 2m(g sin 30ฐ - (g/4) cos 30ฐ)(1 - e^-t/(2m))
๒ds = ๒2m(g sin 30ฐ - (g/4) cos 30ฐ)(1 - e^-t/(2m)) dt
s = 2m(g sin 30ฐ - (g/4) cos 30ฐ)(t + 2m e^-t/(2m)) + c
เนื่องจาก initial condition คือ s = t = 0 แทนค่าลงไปจะได้
0 = 2m(g sin 30ฐ - (g/4) cos 30ฐ)(2m) + c
c = -4m²(g sin 30ฐ - (g/4) cos 30ฐ)
นั่นคือ s = 2m(g sin 30ฐ - (g/4) cos 30ฐ)(t + 2m e^-t/(2m)) - 4m²(g sin 30ฐ - (g/4) cos 30ฐ)
หรือ s = 2m(g sin 30ฐ - (g/4) cos 30ฐ)(-2m + t + 2m e^-t/(2m))
ที่ s = 24 ft แก้สมการหาค่า t จะได้ t = 2.30947 จึงได้ v = 20.7010 ft/s

สำหรับวิธีการใช้งาน จะปรากฏอยู่ทุกหน้าที่ เป็นการรตอบหัวข้อ ที่เขียนว่า การใช้งาน UBB Code และการใช้สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ ลองๆใช้ดู ถ้าเจอบักตรงไหนช่วยบอกด้วยละกัน