ช่วยหาคำตอบ สมการเชิงอนุพันธ์ หน่อยครับ

[kingkongcharoen_tor]

ข้อ 1) $(y-yx^2)\frac{dy}{dx} = (y+1)^2$

ข้อ 2) $\frac{dy}{dx} = \frac{xy+3x-y-3}{xy-2x+4y-8}$

ข้อ 3) $\frac{dy}{dx} = sinx(cos2y-cos^2y$

เป็นโจทย์ของ ODE นะครับ
แสดงวิธีทำจะดีมากเลย

[Ne[S]zA]

ข้อ 1)
$$(y-yx^2)\dfrac{dy}{dx} = (y+1)^2$$
$$\dfrac{y}{(y+1)^2} dy= \dfrac{1}{1-x^2} dx$$
$$\int \dfrac{y}{(y+1)^2} dy=\int \dfrac{1}{1-x^2} dx$$
$$\int \dfrac{y}{y^2+2y+1} dy=\dfrac{1}{2} \int \dfrac{1}{1-x}+\dfrac{1}{1+x} dx$$
$$\dfrac{1}{2} \int \dfrac{2y+2}{y^2+2y+1} -\dfrac{2}{y^2+2y+1}dy=\dfrac{1}{2} \int \dfrac{1}{1-x}+\dfrac{1}{1+x} dx$$
$$\dfrac{1}{2} \int \dfrac{d(y^2+2y+1)}{y^2+2y+1} -2\int \dfrac{d(y+1)}{(y+1)^2}dy= \dfrac{1}{2}[\ln \left|\ x+1\right|-\ln \left|\ 1-x \right|] +C$$
$$\ln \left|\ y+1\right|+\dfrac{1}{y+1}=\dfrac{1}{2} \ln \left|\ \dfrac{1+x}{1-x} \right|+C$$

[Ne[S]zA]

ข้อที่ 3)
$$\dfrac{dy}{dx} = \sin x(\ cos (2y)-\ cos^2y )$$
$$\dfrac{1}{\ cos (2y)-\ cos^2y )} dy = \sin x dx$$
$$\int \dfrac{1}{\ cos (2y)-\ cos^2y )} dy =\int \sin x dx$$
$$\int \dfrac{1}{cos^2y-1 } dy =-\cos x +C$$
$$\int \dfrac{1}{\dfrac{1}{\sec ^2y}-1 } dy =-\cos x +C$$
$$\int \dfrac{\sec^2y}{1-\sec^2y } dy =-\cos x +C$$
$$-\int \dfrac{\sec^2y}{\tan^2y } dy =-\cos x +C$$
$$-\int \dfrac{d(\tan y)}{\tan^2y } =-\cos x +C$$
$$\cot y =-\cos x +C$$
$$\cot y +\cos x =+C$$

[poper]

ข้อ 2.)
$$\frac{xy+3x-y-3}{xy-2x+4y-8}=\frac{(x-1)(y+3)}{(x+4)(y-2)}$$
$$\frac{x+4}{x-1}dx=\frac{y+3}{y-2}dy$$
$$\int \frac{x+4}{x-1}dx=\int \frac{y+3}{y-2}dy$$
$$\int (1+\frac{5}{x-1})dx=\int (1+\frac{5}{y-2})dy$$
ไปต่อได้แล้วนะครับ

[kingkongcharoen_tor]

ขอบคุณ Ne[S]zA และ poper สำหรับความรู้ครับ