เกี่ยวกับความสัมพันธ์ระหว่าง norm กับ metric

[HIGG BOZON]

มีโจทย์ 2 ข้อ เกี่ยวกับความเข้าใจความสัมพันธ์ระหว่าง norm กับ metric มาถามครับ

1. Let $X$ be a non-trivial vector space. Show that the discrete metric on $X$ given by
$d(x,y)=0 if x=y$ $d(x,y)=1 if x\not= y$ can't defined by a norm.

2. Let $(X,d)$ be a metric space. Find necessary and sufficient condition(s) on the metric $d$ that there exists a norm on $X$ such that $d(x,y)=\left\Vert\,x-y\right\Vert $ for any $x,y\in X$ .

ผมรู้สึกว่ามันไม่ยาก...แต่ต้องใช้ definition เกี่ยวกับ norm และ metric แต่ก็ไม่รู้จะใช้ยังไงอ้ะครับ....ใครช่วยแนะนำหน่อยครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ HIGG BOZON

1. Let $X$ be a non-trivial vector space. Show that the discrete metric on $X$ given by
$d(x,y)=0$ if $x=y$ $d(x,y)=1$ if $x\not= y$ can't defined by a norm.

สมมติ $d(x,y)=\|x-y\|$

ให้ $x\neq y$ จะได้

$\|x-y\|=1$

จึงได้

$\|2x-2y\|=2$

ซึ่งเป็นไปไม่ได้

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ HIGG BOZON

2. Let $(X,d)$ be a metric space. Find necessary and sufficient condition(s) on the metric $d$ that there exists a norm on $X$ such that $d(x,y)=\left\Vert\,x-y\right\Vert $ for any $x,y\in X$ .

อยากให้ metric มาจาก norm ก็เอาสัจพจน์ของ norm มานิยาม metric สิครับ

[HIGG BOZON]

คุณสมบัติ metric คือ
1. $d(x,y)\geqslant 0$
2. $d(x,y)=0 \leftrightarrow x=y$
3. $d(x,y)=d(y,x)$
4. $d(x,y)\leqslant d(x,z)+d(z,y)$

คุณสมบัติ norm คือ
1. $\left\Vert\,x\right\Vert = 0 \leftrightarrow x=\theta $
2. $\left\Vert\,x+y\right\Vert \leqslant \left\Vert\,x\right\Vert +\left\Vert\,y\right\Vert $
3. $\left\Vert\,\alpha x\right\Vert = \left|\,\alpha \right|\left\Vert\,x\right\Vert $

อย่างนี้ถ้าผมจะเอานิยาม norm มาสร้าง metric ก็สร้างเงื่อนไขเพิ่มว่า $d(kx,ky)=k\cdot d(x,y)$ ถูกมั้ยครับ???? แล้วตรงอสมการสามเหลี่ยมนี่ต้องนิยามอะไรเพิ่มมั้ยครับ????? แล้วอย่างไหนเรียก necessary condition อย่างไหนเรียก sufficient condition อ่าครับ????

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ HIGG BOZON

คุณสมบัติ metric คือ
1. $d(x,y)\geqslant 0$
2. $d(x,y)=0 \leftrightarrow x=y$
3. $d(x,y)=d(y,x)$
4. $d(x,y)\leqslant d(x,z)+d(z,y)$

คุณสมบัติ norm คือ
1. $\left\Vert\,x\right\Vert = 0 \leftrightarrow x=\theta $
2. $\left\Vert\,x+y\right\Vert \leqslant \left\Vert\,x\right\Vert +\left\Vert\,y\right\Vert $
3. $\left\Vert\,\alpha x\right\Vert = \left|\,\alpha \right|\left\Vert\,x\right\Vert $

อย่างนี้ถ้าผมจะเอานิยาม norm มาสร้าง metric ก็สร้างเงื่อนไขเพิ่มว่า $d(kx,ky)=k\cdot d(x,y)$ ถูกมั้ยครับ???? แล้วตรงอสมการสามเหลี่ยมนี่ต้องนิยามอะไรเพิ่มมั้ยครับ????? แล้วอย่างไหนเรียก necessary condition อย่างไหนเรียก sufficient condition อ่าครับ????

$d(kx,ky)=|k|\cdot d(x,y)$

อันนี้คือ necessary condition คิดว่าน่าจะมีอีกเงื่อนไขนึงคือ

$d(x,y)=d(x-y,0)$ ครับ จึงจะได้เงื่อนไขที่เพียงพอ

Proposition Let $X$ be a vector space and $d$ be a metric on $X$. Then $d$ induces a norm on $X$ if and only if

(a) $d(kx,ky)=|k|d(x,y)$ for all $k\in\mathbb{F}$ and $x,y\in X$

(b) $d(x,y)=d(x-y,0)$ for all $x,y\in X$

Proof: $(\Rightarrow)$ Obvious.

$(\Leftarrow)$ Suppose the converse holds. Define $\|x\|=d(x,0)$. Then $d(x,y)=d(x-y,0)=\|x-y\|$. We will show that $\|\cdot\|$ is a norm on $X$. Let $x,y\in X$ and $k\in\mathbb{F}$.

(1) $\|x\|=d(x,0)\geq 0$ and $\|x\|=0$ if and only if $x=0$.

(2) $\|kx\|=d(kx,0)=|k|d(x,0)=|k|\|x\|$

(3) $\|x+y\|=d(x+y,0)=d(x,-y)\leq d(x,0)+d(0,-y)=d(x,0)+d(0,y)=\|x\|+\|y\|$

[Mathopolis]

อย่าลืมว่า norm is always continuous ด้วยครับ

[nooonuii]

continuity เป็นผลพลอยได้จากการเป็น metric ของ $d$ อยู่แล้วครับจึงไม่จำเป็นต้องใส่