limit ครับ ๆ

[noppadon7]

จงพิสูจน์ว่า limit ต่อไปนี้มีค่าหรือไม่
1.$\lim_{n \to \infty} \frac{n}{\ln ((n+1)!)}$
2.$\lim_{x \to 0}\cos(\frac{1}{x}) $

[nooonuii]

1. $0$

2. ลู่ออก

[noppadon7]

อยากรู้วิธีการพิสูจน์ครับว่ามันแสดงยังไง ขอบคุณนะครับบ

[nooonuii]

1. ผมใช้ Stirling approximation เอาครับ ค่อนข้างยาก

2. พิสูจน์ว่า มี subsequence สองอันที่ลู่เข้าหาคนละจำนวนกัน

อันแรกเลือก $x_n=\dfrac{2}{\pi (2n+1)}$ จะได้ $\cos\left(\dfrac{1}{x_n}\right)=\cos\left(\dfrac{(2n+1)\pi}{2}\right)=0$

อีกอันเลือก $y_n=\dfrac{1}{2\pi n}$ จะได้ $\cos\left(\dfrac{1}{y_n}\right)=\cos(2n\pi)=1$