อสมการตรีโกณครับ

[Oriel]

Find all $x$ in the interval $[0,2\pi]$ that satisfy
$$2\cos(x) \leqslant \sqrt{1+\sin(2x)} - \sqrt{1-\sin(2x)} \leqslant \sqrt{2}$$

ตอนจบผมได้ $-\frac{1}{\sqrt{2}}\leqslant \cos(x) \leqslant \frac{1}{\sqrt{2}}$ แล้วทำอย่างไรต่อครับ ถูกทางรึปล่าว?

[Amankris]

ยังไม่ใช่นะครับ

ลองเขียนวิธีคิดมา น่าจะมีคนมาช่วยมากขึ้น

[Oriel]

$$2\cos x \leqslant \sqrt{1+\sin 2x}-\sqrt{1-\sin 2x}$$
$$4\cos ^2 x \leqslant 2 -2\cos 2x$$
$$2\cos ^2 x + \cos 2x -1 \leqslant 0$$
$$2\cos ^2 x -1 \leqslant 0$$
$$(\sqrt{2}\cos x - 1)( \sqrt{2}\cos x +1 )\leqslant 0$$
$$-\frac{1}{\sqrt{2}}\leqslant \cos x \leqslant \frac{1}{\sqrt{2}}$$

[หยินหยาง]

#3 ผิดตั้งแต่บรรทัดที่ 2 แล้วครับ

[หยินหยาง]

เนื่องจากเป็นอสมการจะยกกำลังสองต้องระวังเรื่องเครื่องหมายอสมการครับ

ลองใช้คอนจูเกตดูยังครับ เพราะจะเป็นบวกเสมอแล้วย้ายข้างจัดรูปดูครับแล้วลองพิจารณาดูว่าค่าในควอตแดรนท์ไหนใช้ได้บ้าง และเกิดขึ้นเมื่อไหร

[Oriel]

$$2\cos x \leqslant \sqrt{1+\sin 2x} - \sqrt{1-\sin 2x}$$
$$2\cos x \leqslant \sqrt{1+\frac{2\tan x}{1+\tan ^2x}} - \sqrt{1-\frac{2\tan x}{1+\tan ^2x}} $$
$$2\cos x \leqslant \sqrt{\frac{\tan ^2x+2\tan x+1}{1+\tan ^2x}} - \sqrt{\frac{\tan ^2x-2\tan x+1}{1+\tan ^2x}} $$
$$2\cos x \leqslant \frac{1}{\sqrt{1+\tan ^2x}}(|\tan x+1|-|\tan x-1|)$$
$$\leqslant \frac{1}{|\sec x|}(|\tan x+1-\tan x+1|)$$
$$2\cos x \leqslant |2\cos x|$$

???

[หยินหยาง]

#6 ผิดตรงบรรทัด 4 มา 5 จะเอา absolute ออกต้องแบ่งช่วงคิดครับ
ถ้าอยากทำแบบนี้ก็เปลี่ยนเป็นรูปนี้ตั้งแต่แรกไม่ง่ายกว่าหรือครับ $ \sqrt{1+\sin 2x} - \sqrt{1-\sin 2x} = |\sin x +\cos x|-|\sin x -\cos x|$

[Oriel]

แบ่งได้เป็น 5 ช่วงหรอครับ $[0,\frac{\pi}{4}), [\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4}), [\frac{3\pi}{4},\frac{5\pi}{4}), [5\frac{\pi}{4},\frac{7\pi}{4}), [\frac{7\pi}{4},2\pi]$
เยอะจัง