[แต่งเอง] อสมการทำเล่น

[ความรู้ยังอ่อนด้อย]

1. ให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบ, และเป็น 0 ได้อย่างมาก 1 ตัว จงแสดงว่า
$$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{b+a}+\dfrac{4(a+b+c)(ab+bc+ca)}{a^3+b^3+c^3} \geq 5$$

2. $x,y,z \geq 0, x^2+y^2+z^2=1$ $$\sqrt{x^2-xy+y^2}+\sqrt{y^2-yz+z^2}+\sqrt{z^2-zx+x^2} \geq \sqrt{3}$$

[จูกัดเหลียง]

$\displaystyle L.H.S=\Big(\frac{a^3+b^3+c^3}{(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc}+\frac{4[(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc]}{a^3+b^3+c^3}\Big)+\frac{(a+b+c)(ab+bc+ca)}{(a+b)(b+c)(c+a)}+\frac{4abc}{a^3+b^3+c^3}\ge 4+1+0=5$
ซึ่งจริงจาก AM-GM เเละ $abc\ge 0$

[Thgx0312555]

ข้อ 1
2))
$2(\sqrt{x^2-xy+y^2}+\sqrt{y^2-yz+z^2}+\sqrt{z^2-zx+x^2})$
$= \sqrt{(2x-y)^2+y^2+y^2+y^2}+\sqrt{z^2+(2y-z)^2+z^2+z^2}+\sqrt{x^2+x^2+(2z-x)^2+x^2}$
$\ge \sqrt{(3x-y+z)^2+(3y-z+x)^2+(3z-x+y)^2+(x+y+z)^2}$ (โดยอสมการสามเหลี่ยม)
$= \sqrt{12x^2+12y^2+12z^2}$
$= 2\sqrt{3}$