Diverges or Converges

[B บ ....]

Let $x_1$ be positive real number. If $x_{n+1} = x_n + \frac{1}{x_n}$ for all $n \geq 1$, establish that $x_n$ converges or diverges ?

ช่วย Hint หน่อยครับ ผมคิดว่ามัน diverges ตอนนี้แสดงได้แค่ว่ามัน increasing ทีนี้ จะแสดง unbounded ดูท่าจะไม่ไหว ส่วนจะแสดงว่าัมนไม่ใช่ Cauchy sequence โดยเปียบเทียบกับ $s_n = 1 + \frac{1}{2} + ... + \frac{1}{n}$ ก็ยังทำแบบสมบูรณ์ไม่ได้ เหมือน่ว่ายังหาเหตุผลดีๆมาบอกว่า จะมี $s,t \geq N$ โดยที่ $|x_s - x_t| \geq |s_p - s_q| \geq \epsilon_0$ for all $s,t,p,q \geq \mathbb{N}$ for all $N \in \mathbb{N}$

[nooonuii]

ถ้าลำดับนี้ลู่เข้าแล้ว จากสมการที่ให้ไว้มันจะทำให้เกิดข้อขัดแย้งเกี่ยวกับตัวลิมิตครับ

[BenzMath]

สมมติว่าลำดับมันลู่เข้า นั่นคือจะมี $p\in R^+$ ที่ทำให้ $\lim_{n \to \infty}x_n=p$
ต่อไปจะทำการหา $p$ ที่ว่าครับ ตามนี้

$$\lim_{n \to \infty}(x_{x+1})=\lim_{n \to \infty}(x_n+\frac{1}{x_n})$$
$$p=p+\frac{1}{p}$$

ซึ่งขัดแย้ง

[B บ ....]

ขอบคุณมากคราบบบบบบบบบ

[B บ ....]

ดูวิธีคิดละอึ้งเลย โหหห เราคิดอะไร ทำอะไรอยู่ มันง่ายๆ T^T