อสมการครับ

[จูกัดเหลียง]

Let $\dfrac{1}{a^2+1}+\dfrac{1}{b^2+1}+\dfrac{1}{c^2+1}=\dfrac{3}{2}$ Prove that $$a^2+b^2+c^2\ge a+b+c$$

[Thgx0312555]

by Cauchy
$(a^2+1+b^2+1+c^2+1)(\dfrac{1}{a^2+1}+\dfrac{1}{b^2+1}+\dfrac{1}{c^2+1}) \ge 9$
$a^2+b^2+c^2+3 \ge 6$
$a^2+b^2+c^2 \ge 3$ ___(1)
by Cauchy
$(a^2+1+b^2+1+c^2+1)(\dfrac{a^2}{a^2+1}+\dfrac{b^2}{b^2+1}+\dfrac{c^2}{c^2+1}) \ge (a+b+c)^2$
$a^2+b^2+c^2+3 \ge \dfrac{2}{3}(a+b+c)^2$
จาก (1); $2(a^2+b^2+c^2) \ge \dfrac{2}{3}(a+b+c)^2$
$a^2+b^2+c^2 \ge \dfrac{1}{3}(a+b+c)^2$ ___(2)
จาก (1),(2);
$(a^2+b^2+c^2)^2 \ge (a+b+c)^2$
$a^2+b^2+c^2 \ge |a+b+c| \ge a+b+c$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Thgx0312555

by Cauchy
$(a^2+1+b^2+1+c^2+1)(\dfrac{1}{a^2+1}+\dfrac{1}{b^2+1}+\dfrac{1}{c^2+1}) \ge 9$
$a^2+b^2+c^2+3 \ge 6$
$a^2+b^2+c^2 \ge 3$ ___(1)
by Cauchy
$(a^2+1+b^2+1+c^2+1)(\dfrac{a^2}{a^2+1}+\dfrac{b^2}{b^2+1}+\dfrac{c^2}{c^2+1}) \ge (a+b+c)^2$
$a^2+b^2+c^2+3 \ge \dfrac{2}{3}(a+b+c)^2$
จาก (1); $2(a^2+b^2+c^2) \ge \dfrac{2}{3}(a+b+c)^2$
$a^2+b^2+c^2 \ge \dfrac{1}{3}(a+b+c)^2$ ___(2)
จาก (1),(2);
$(a^2+b^2+c^2)^2 \ge (a+b+c)^2$
$a^2+b^2+c^2 \ge |a+b+c| \ge a+b+c$

อสมการ $(2)$ จริงโดยไม่ต้องใช้เงื่อนไขโจทย์ครับ ถ้าตัดส่วนสีน้ำเงินออกไปการพิสูจน์ก็จะสั้นลงเยอะเลย

[Thgx0312555]

จริงด้วยครับ

[จูกัดเหลียง]

ยอดเยี่ยมมากครับ