โจทย์ลิมิตอีกแล้วค่ะ*-*

[nuclearomme]

\[\lim_{x\to \frac{\pi }{2}} \frac{1-sinx}{(2x-\pi)^2}\]

ต้องทำยังไงกับตรง $(2x-\pi)^2$ หรอคะ

(เฉลย $\frac{1}{8}$)

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nuclearomme

\[\lim_{x\to \frac{\pi }{2}} \frac{1-sinx}{(2x-\pi)^2}\]

ต้องทำยังไงกับตรง $(2x-\pi)^2$ หรอคะ

(เฉลย $\frac{1}{8}$)

มันเข้ารูปแบบ $\frac{0}{0}$ ซึ่งเป็น indeterminate form ดังนั้นเราทำได้ 2 แบบครับ

แบบแรก คือใช้โลปิตาล หาอนุพันธ์ 2 ครั้ง

แบบที่สอง เปลี่ยนตัวแปร สมมติให้ $y = x - \frac{\pi}{2}$ จากนั้นจัดลิมิตให้อยู่ในรูปของ $y$

โดยใช้ $\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$

[nuclearomme]

ช่วยแสดงให้ดูด้วยได้มั้ยคะ หนูไม่ค่อยเข้าใจ
ขอบคุณค่ะ

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nuclearomme

ช่วยแสดงให้ดูด้วยได้มั้ยคะ หนูไม่ค่อยเข้าใจ
ขอบคุณค่ะ

ให้ $y = x - \frac{\pi}{2}$

ดังนั้น $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{1-\sin x}{(2x - \pi)^2} = \lim_{y \to 0} \frac{1 - \cos y}{(2y)^2} = \lim_{y \to 0}\frac{2\sin^2\frac{y}{2}}{4y^2} = \lim_{(y/2) \to 0}\frac{1}{8}\cdot (\frac{\sin \frac{y}{2}}{\frac{y}{2}})^2 = (1/8)(1) = 1/8$