ขอคำแนะนำเกี่ยวกับอสมการ

[Kidd]

ในกรณีที่ $p$ เป็นจำนวนคี่ เราสามารถพิสูจน์
$\left| x-y\right|^p \leqslant 2^{p-1}\left| x^p-y^p\right|$
โดยผ่านอสมการ
$\left| x+y\right|^p \leqslant 2^{p-1}\left| x^p+y^p\right|$

ถ้าให้ $r=\frac{p}{q}$ เมื่อ $p,q$ เป็นจำนวนคี่ เราจะสามารถพิสูจน์
$\left| x-y\right|^r\leqslant C\left| x^r-y^r\right|$
ได้ไหมครับ?

[Kidd]

รบกวนช่วยเช็คพิสูจน์ได้ไหมครับ (มันแปลกๆ) ให้
$f(\lambda)=\left(\lambda^{\frac{p}{q}}+(1-\lambda)^{\frac{p}{q}}\right)2^{1- {\frac{p}{q}}}-1$ เมื่อ $0<q\leqslant p<1$ ต่างเป็นจำนวนเต็มคี่
จะเห็นว่า $\min f(\lambda)=f(\frac{1}{2})>0$ ดังนั้น

$1<\left(\lambda^{\frac{p}{q}}+(1-\lambda)^{\frac{p}{q}}\right)2^{1- {\frac{p}{q}}}$

ต่อไปให้ $\lambda=\frac{x}{x+y}$ ดังนั้น

$|x+y|^{\frac{p}{q}}<\left|x^{\frac{p}{q}}+y^{\frac{p}{q}}\right|2^{1- {\frac{p}{q}}}$

จาก $p,q$ ต่างเป็นจำนวนคี่ โดยการให้ $y:=-y$ จึงทำให้

$|x-y|^r<\left|x^r-y^r \right|2^{1- r}$ เมื่อ $r=\frac{p}{q}$

[Beatmania]

บทพิสูจน์ข้างบนถูกแล้วครับ ถ้าจะให้ดีขึ้นกว่าเดิมน่าจะบอกเพิ่มนิดนึงว่าทำไม $min(f(x))=f(\frac{1}{2})$

และควรจะบอกเงื่อนไขของตัวแปรว่าอยู่ในเซตอะไรเช่น $\mathbb{R},\mathbb{Q},\mathbb{C}$ นะครับ

[Kidd]

ขอบคุณคร้าบบบ