Maximum

[ความรู้ยังอ่อนด้อย]

1.ให้ $a,b,c,d$ เป็นจำนวนจริงบวก จงหาค่าสูงสุดของ
$$\dfrac{ab+bc+cd}{a^2+b^2+c^2+d^2}$$
2.ให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนจริงซึ่ง $abc+a+c=b$ จงหาค่าสูงสุดของ$$\dfrac{2}{a^2+1}-\dfrac{2}{b^2+1}+\dfrac{3}{c^2+1}$$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ความรู้ยังอ่อนด้อย

1.ให้ $a,b,c,d$ เป็นจำนวนจริงบวก จงหาค่าสูงสุดของ
$$\dfrac{ab+bc+cd}{a^2+b^2+c^2+d^2}$$

$\dfrac{ab+bc+cd}{a^2+b^2+c^2+d^2}\leq \dfrac{\sqrt{5}+1}{4}$

[ความรู้ยังอ่อนด้อย]

#2 ถูกต้องครับ

[ความรู้ยังอ่อนด้อย]

กำหนดให้ $x,y,z \geq 0$ โดยที่ $x+y+z=1$ จงแสดงว่า $$\sum {x\sqrt{1-yz}} \geq \dfrac{2\sqrt{2}}{3}$$

ข้อนี้ผมทำไม่ได้ รบกวนด้วยครับ

[Aquila]

วางแผนคร่าวๆ สำหรับ $x,y,z > 0$

bound ข้างในไส้ที่ติดรูทได้เป็น $x\sqrt{1-\frac{(y+z)^2}{4}}=x\sqrt{1-\frac{(1-x)^2}{4}}$

นิยามให้ $S=\sum x\sqrt{1-\frac{(1-x)^2}{4}}$

จะพิสูจน์ว่า $S$ มีค่า min ที่ $\sqrt{\frac{8}{9}}$

ให้ $f(t)=t\sqrt{1-\frac{(1-t)^2}{4}}$

จากนั้น prove ว่า $f''(t) \geq 0$ ทุก $t \in (0,r]$ โดย $r < 1$ (ไปหา $r$ ออกมา)

สำหรับ $x,y,z \in (0,1)$ ให้แบ่งระนาบใน Q1 ออกเป็น 2 ส่วน ใช้ $x=r$ เป็นเส้นแบ่ง

จะได้ว่า ต้องเชค 2 case (ใช้นกพิราบอ้างก็ได้ ถ้าอยากเท่)

1. $x,y \in (0,r)$ และ $z \in (r,1)$

2. $x,y,z \in (0,r)$

case แรกมันมีปัญหาตรงที่ต้องเชค $f(x)+f(y)+f(z) \geq 2f(\frac{1-z}{2})+f(z) \geq \sqrt{\frac{8}{9}}$ ซึ่งลำบากอยู่ แล้วไม่รู้ว่าจริงหรือเปล่าด้วย

case ที่สอง มันจริงโดย Jensen สำหรับ $f(x)+f(y)+f(z) \geq 3f(\frac{1}{3})=\sqrt{\frac{8}{9}}$ อยู่แล้ว

ลองไป complete proof ดูเองนะครับ ถ้าอสมการไม่จริง // วิธีผิดก็หาวิธีอื่นดู

ปิดท้ายด้วยการ claim เหนือ $x,y,z \geq 0$ จะไล่เชคหรือใช้ลิมิตเชคก็ได้

ถ้าวิธีนี้ไม่หลุด ลองทำให้ไส้ในมันเอื้อต่อการใช้อสมการพื้นฐาน// ใช้ advance ineq เทคนิกอื่นๆดู

[Aquila]

มา note ข้อ 2 เพิ่ม

ข้อ 2 เหมือนจะเป็นตรีโกณนิครับ ใช่มั้ย?

จาก $b=\frac{a+c}{1-ac}$ เพราะเรจน์ของ $\tan$ เป็น $\mathbb{R}$

เลยให้ $a=\tan x$ และ $c=\tan y$

ก็จะได้ $b=\tan (x+y)$

เอาไป maximize กับ $f(x,y)=2\cos^2x-2\cos^2(x+y)+3\cos^2y$

ใครจะคิดต่อก็เชิญเลยครับ

*****************************************************

อยู่ดีๆก็มีอีก idea เข้ามา

จาก $S=\sum x\sqrt{1-\frac{(1-x)^2}{4}}$

ให้
$x=1-2\cos A$
$y=1-2\cos B$
$z=1-2\cos C$

ลองเอาไปเชคกับรายละเอียดอื่นๆดูเองนะครับ

[win1234]

รบกวนพี่ nooonuii ช่วยแสดงวิธีทำหน่อยได้หรือเปล่าครับ เพราะผมเห็นในวิธีส่วนมากนั้นจะเป็นการใช้สมบัติของ

กำลังสองสมบูรณ์ซึ่งมันต้องแบ่งตัวเลขให้สมดุลครับ แต่อยากทราบว่าตัวเลขที่ใช้นั้นได้มาจากการคิดแบบใดครับ

อ้างอิงวิธีทำของเพจ Fun Math with IPST ครับผม

ขอบคุณล่วงหน้าครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ความรู้ยังอ่อนด้อย

1.ให้ $a,b,c,d$ เป็นจำนวนจริงบวก จงหาค่าสูงสุดของ
$$\dfrac{ab+bc+cd}{a^2+b^2+c^2+d^2}$$

เพื่อความสะดวกจะหาค่าต่ำสุดของ $\dfrac{a^2+b^2+c^2+d^2}{ab+bc+cd}$

สมมติว่าค่าต่ำสุดคือ $k$ จะได้ว่า

$a^2+b^2+c^2+d^2 \geq k(ab+bc+cd)$

ต่อไปสมมติว่าสามารถจัดรูปอสมการให้อยู่ในรูป SOS

$(a-k_1b)^2+(k_2b-k_3c)^2+(k_4c-d)^2\geq 0$

กระจายแล้วนำมาเทียบสัมประสิทธิ์จะได้

$2k_1=2k_2k_3=2k_4=k$

$k_1^2+k_2^2=k_3^2+k_4^2=1$

จึงได้

$k_1=\dfrac{k}{2}$

$k_2=\sqrt{1-\dfrac{k^2}{4}}$

$k_3=\dfrac{k}{\sqrt{4-k^2}}$

$k_4=\sqrt{\dfrac{4-2k^2}{4-k^2}}$

แต่ $k_4= \dfrac{k}{2}$ ด้วย จึงได้ว่า

$\dfrac{k}{2}=\sqrt{\dfrac{4-2k^2}{4-k^2}}$

แก้สมการได้ $k=\sqrt{5}\pm 1$

แต่ $k^2\leq2$ จึงได้ $k=\sqrt{5}-1$

ดังนั้นค่าสูงสุดของ $\dfrac{ab+bc+cd}{a^2+b^2+c^2+d^2}$ คือ $\dfrac{1}{k}=\dfrac{1}{\sqrt{5}-1}=\dfrac{\sqrt{5}+1}{4}$

[win1234]

ขอบคุณมากครับพี่ nooonuii

จากการสังเกตวิธีทำผมคาดว่าถ้าเป็นของกรณีทั่วไปนั้นค่า k นั้นดูเหมือนจะเป็นรูปแบบอะไรทางตรีโกณมิติหรือเปล่าครับ

เพราะค่าต่ำสุดที่ได้ออกมานั้นคือ cos36

[nooonuii]

ผมตั้ง conjecture ไว้ในนี้ครับ ซึ่งคิดว่าจริง 100% แต่ยังพิสูจน์ในกรณีทั่วไปไม่ได้

http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=21288

[Aquila]

คุณ nooonuii มาพอดีเลย

ขอลิงค์ตรงสีเขียวๆได้มั้ยครับ จะเอามาศึกษาเพิ่ม ครั้งที่แล้วหาไม่เจอ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

มาจากทฤษฎีบทของ Artin ที่ว่าทุกอสมการพหุนามจะสามารถจัดเป็น sum of squares ได้ครับ

ก็เลยลองเดาว่าจะจัดรูปให้เป็น SOS ได้ยังไงโดยใช้วิธี undetermined coefficients ครับ

ผมคิดว่า conjecture ที่ตั้งไว้เป็นจริงโดยการจัดให้เป็น SOS แบบที่แสดงไว้

แต่ความยากอยู่ที่จะต้องพิสูจน์เอกลักษณ์บางอย่างของ $\sec$ ครับ

ใครว่างๆลองเอาไปคิดต่อดูนะครับ

ขอบคุณล่วงหน้าครับ

[nooonuii]

ผมให้หน้านี้จาก Google ไปนะครับ มันเป็นปัญหาที่ 17 ของ Hilbert ซึ่งพูดถึง SOS ของพหุนามโดยตรง

Hilbert's 17th problem