อสมการครับ

[Aquila]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ง่ายก็ไม่เป็นไรครับ โจทย์ยากก็คือโจทย์ง่ายหลายๆข้อมารวมกัน

ถ้าคิดโจทย์ง่ายได้แล้ว ต่อไปก็จะคิดโจทย์ที่ยากขึ้นได้เองครับ

ตัวอย่างเช่น จากโจทย์ข้อนี้อาจจะถามใหม่ว่า

$x,y,z >0 , x+y+z=1$ จงแสดงว่า $$\sqrt{3xyz}\leq xy+yz+zx \leq \dfrac{8}{27}+xyz$$

สวยมากครับ แบบนี้ดูมีราศีขึ้นมาเยอะเลยครับ

[จูกัดเหลียง]

รบกวนตั้งโจทย์ต่อเลยครับ

[nooonuii]

1. ให้ $a,b$ เป็นจำนวนจริง จงหาค่าต่ำสุดของ $(ab+4)^2+(a+4)^2+(b+4)^2$

2. กำหนดให้ $x_1,x_2,\ldots,x_n$ เป็นข้อมูลของจำนวนจริง ให้ $\overline{x}$ แทนค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูล และ $R$ แทนพิสัยของข้อมูล จงพิสูจน์ว่า

$$
|x_1-\overline{x}|+|x_2-\overline{x}|+\cdots+|x_n-\overline{x}|\geq R
$$

[Aquila]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

1. ให้ $a,b$ เป็นจำนวนจริง จงหาค่าต่ำสุดของ $(ab+4)^2+(a+4)^2+(b+4)^2$

ข้อ 1 ได้ 23 หรือเปล่า เกิดเมื่อ $a,b$ เป็นรากของ $t^2+4t-3=0$

ข้อ 2 ตัวใครตัวมันละกัน

ปล. ไม่เล่นแนวอสมการเรขากันบ้างเลยเหรอครับ มีแต่พีชคณิตเพียวๆ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Aquila

ข้อ 1 ได้ 23 หรือเปล่า เกิดเมื่อ $a,b$ เป็นรากของ $t^2+4t-3=0$

ข้อ 2 ตัวใครตัวมันละกัน

ปล. ไม่เล่นแนวอสมการเรขากันบ้างเลยเหรอครับ มีแต่พีชคณิตเพียวๆ

1. ถูกแล้วครับ

2. ง่ายกว่าข้อ 1 อีกนะครับ

ผมมีโจทย์ GI อยู่บ้างแต่ไม่ค่อยเอามาเล่นเพราะต้องเขียนรายละเอียดเยอะครับ

โจทย์ที่ผมภูมิใจเสนอมากๆในการคัดข้อสอบ TMO11 ปีที่แล้วก็เป็นโจทย์ GI นะครับ แต่โดนโหวตตกไปซะก่อน

ใครได้เห็นโจทย์ shortlist TMO11 แล้วบ้างครับ

[Thgx0312555]

ข้อหนึ่งยากอยู่นะ? แต่ดูจากคุณ Aquila ทำน่าจะจัดได้ในรูป
$(ab+3)^2+(a+b+4)^2+23$

ส่วนข้อสองก็ ... $|x_{min}-\overline{x}|+|x_{max}-\overline{x}| \ge R$ ตรงๆ

[Thgx0312555]

แต่สงสัยว่าเอกลักษณ์นี้มีที่มาอย่างไร

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ polsk133

$(a+b+c)^3>=(2a+b)(2b+c)(2c+a)$

[จูกัดเหลียง]

AM-GM นั่นเเหละครับ
$$a+b+c=\frac{(2a+b)+(2b+c)+(2c+a)}{3}\ge\sqrt[3]{(2a+b)(2b+c)(2c+a)}$$

[Aquila]

ถือโอกาสปลุกกระทู้ไปในตัว

ผมไปลองค้นๆดูแล้ว ในเว็บสอวน.มีแต่ TMO SL-9 น่ะสิครับ TMO10 ยังไม่มีเลย

แต่ TMO SL-11 ผมไปได้มาจากกรุ๊ปใน facebook แชร์ๆมาอีกที

นอกจากข้อ $k=\sqrt[3]{9}-1$ อีก 2 ข้อนี้เป็นของคุณ nooonuii หรือเปล่า

A14 (สอวน) ให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนจริงบวก ที่ $a+b+c=3$ จงพิสูจน์ว่า
$$a^2+b^2+c^2 \geq (ab)^\frac{3}{2}+(bc)^\frac{3}{2}+(ca)^\frac{3}{2}$$

A15 (สอวน) ให้ ABC เป็นสามเหลี่ยมที่มีด้านตรงข้ามมุม A,B,C ยาว $a,b,c$ ตามลำดับ
ให้ $h_{a},h_{b},h_{c}$ แทนส่วนสูงที่ลากจากมุม A,B,C ไปตั้งฉากกับด้าน BC,CA,AB ตามลำดับ
จงพิสูจน์ว่า $$\frac{h_{a}}{h_{b}}+\frac{h_{b}}{h_{c}}+\frac{h_{c}}{h_{a}} \geq \frac{h_{a}+c}{h_{b}+c}+\frac{h_{b}+a}{h_{c}+a}+\frac{h_{c}+b}{h_{a}+b}$$

ปล. ฝีมือแต่งออกมาได้ระดับนี้ ไม่ลองแต่งส่งไป IMO เชียงใหม่ดูเลยละครับ

ปล2. ผมไม่รู้นะว่า Shortlist จะมีกฎห้ามปล่อยเหมือนของพวก IMO หรือเปล่านะ ผิดกฎก็ลบได้เลยนะครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Aquila

ปล2. ผมไม่รู้นะว่า Shortlist จะมีกฎห้ามปล่อยเหมือนของพวก IMO หรือเปล่านะ ผิดกฎก็ลบได้เลยนะครับ

ทั้งสองข้อเป็นโจทย์ที่ผมแต่งเองครับ โจทย์ shortlist ห้ามเผยแพร่ก่อนเดือนพฤศจิกายนครับ

ตอนนี้เผยแพร่ได้ตามสะดวกเลย

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Aquila

\
A14 (สอวน) ให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนจริงบวก ที่ $a+b+c=3$ จงพิสูจน์ว่า
$$a^2+b^2+c^2 \geq (ab)^\frac{3}{2}+(bc)^\frac{3}{2}+(ca)^\frac{3}{2}$$

$$a^2+b^2+c^2 \geq (ab)^\frac{3}{2}+(bc)^\frac{3}{2}+(ca)^\frac{3}{2}\leftrightarrow (a+b+c)(a^2+b^2+c^2)\ge 3(\sum_{cyc}(ab)^{3/2})\leftrightarrow \frac{1}{2}\sum_{cyc}(a^{3/2}-b^{3/2})^2+\sum_{cyc}ab(a^{1/2}-b^{1/2})^2\ge 0$$

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Aquila

A15 (สอวน) ให้ ABC เป็นสามเหลี่ยมที่มีด้านตรงข้ามมุม A,B,C ยาว $a,b,c$ ตามลำดับ
ให้ $h_{a},h_{b},h_{c}$ แทนส่วนสูงที่ลากจากมุม A,B,C ไปตั้งฉากกับด้าน BC,CA,AB ตามลำดับ
จงพิสูจน์ว่า $$\frac{h_{a}}{h_{b}}+\frac{h_{b}}{h_{c}}+\frac{h_{c}}{h_{a}} \geq \frac{h_{a}+c}{h_{b}+c}+\frac{h_{b}+a}{h_{c}+a}+\frac{h_{c}+b}{h_{a}+b}$$

สมมุติให้ $a\ge b\ge c$ ได้ว่า $h_a\le h_b \le h_c$ เเละได้ว่า $\displaystyle k=h_a\cdot a=h_b\cdot b=h_c\cdot c$ เเละจัดรูปสมการได้ว่าเราต้องพิสูจน์ว่า
$$\frac{b-a}{ak+abc}+\frac{c-b}{bk+abc}+\frac{a-c}{ck+abc}\ge 0$$
พบว่า $$\Big(\frac{b-a}{ak+abc}+\frac{c-b}{bk+abc}\Big)+\frac{a-c}{ck+abc}\ge \frac{c-a}{bk+abc}+\frac{a-c}{ck+abc}=\frac{(a-c)(b-c)k}{(ck+abc)(bk+abc)}\ge 0$$
ตามต้องการ

[Aquila]

solution สวยดีครับ

แต่ยังงงอยู่ว่าทำไมสมมติให้ $a \geq b \geq c$ ได้

ช่วยอธิบายหน่อยครับ

[จูกัดเหลียง]

ที่จริงเเบบนี้ก็ได้ครับ อสมการสมมูลกับ $$\frac{ak+abc}{ck+abc} +\frac{bk+abc}{ak+abc}+\frac{ck+abc}{bk+abc}\ge 3$$ ซึ่ง AM.-GM. ก็จะไดทันทีเลยครับ