ขอถามเรื่อง jensen

[Pitchayut]

คืออสมการ jensen กล่าวไว้ว่าดังนี้ครับ

"ให้ $f(x)$ เป็นฟังก์ชันนูน และ $x_1, x_2, x_3, ..., x_n$ เป็นจำนวนจริงซึ่งทำให้ $f(x_i)$ หาค่าได้เมื่อ $i=1$ ถึง $n$ จะได้ว่า $$\frac{f(x_1)+f(x_2)+f(x_3)+...+f(x_n)}{n} \geq f\left(\frac{x_1+x_2+x_3+...+x_n}{n}\,\right) $$
ถ้า $f(x)$ เป็นฟังก์ชันเว้าเครื่องหมายอสมการก็จะกลับข้าง"

ซึ่งผมทดลองแล้วว่ามันใช้ได้ดีกับการแก้โจทย์อสมการผลบวกที่ซับซ้อน ดังนั้นผมก็เลยสงสัยว่ามีอสมการแบบเดียวกันแต่ว่าเป็นผลคูณดังข้างล่างนี้ไหม

"ให้ $f(x)$ เป็นฟังก์ชันนูน และ $x_1, x_2, x_3, ..., x_n$ เป็นจำนวนจริงซึ่งทำให้ $f(x_i)$ หาค่าได้เมื่อ $i=1$ ถึง $n$ จะได้ว่า $$\sqrt[n]{ f(x_1)f(x_2)f(x_3)...f(x_n)} \geq f\left(\sqrt[n]{x_1x_2x_3...x_n}\,\right) $$
ถ้า $f(x)$ เป็นฟังก์ชันเว้าเครื่องหมายอสมการก็จะกลับข้าง"

รบกวนผู้รู้ช่วยตรวจสอบให้ด้วยว่าอสมการนี้เป็นจริงหรือเปล่าครับ แต่ผมคิดว่าถ้าใส่ log เข้าไปทั้งสองข้างน่าจะพิสูจน์ได้ครับ

[Beatmania]

ถ้าหากเราพิสูจน์ได้ว่าฟังก์ชั่น $g(x)=ln[f(e^x)],x\in\mathbb{R}$ เป็นฟังก์ชั่นนูนก็จะทำได้ครับ

แต่ว่าเราได้ว่า

$$\frac{d^2g(x)}{dx^2}=\frac{e^x[f(e^x)[e^xf''(e^x)+f'(e^x)]-e^xf'(e^x)^2]}{f(e^x)^2}$$

ซึ่งเรายังไม่ทราบแน่นอนว่า $\frac{d^2g(x)}{dx^2}\geq 0$ สำหรับทุกจำนวนจริง x หรือเปล่า

ผมจึงคิดว่าไม่สามารถพิสูจน์ได้ครับ รอผู้เชี่ยวชาญมายืนยันแล้วกันครับ

[Napper]

ฟังก์ชันนูนเค้านิยามแบบเชิงเส้นครับ มันเลยขยายเป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตได้
แต่ถ้าเปลี่ยนเป็นค่าเฉลี่ยเรขาคณิตแล้ว ก็ไม่ทราบครับ สมการอาจไม่จริงเสมอไปก็ได้นะครับ

Convex Function

[Pitchayut]

ถ้างั้นก็คือวิธีที่เป็นไปได้ก็คือ ใส่ $ln$ ทั้งสองข้าง ขอขอบคุณทุกคนที่มาช่วยกันตอบด้วยครับ