โจทย์ เกี่ยวกับ differentiable function ครับ

[viista]

Let $f$ be differentiable on $(a,b)$. Put
$$
f^+(x)=\left\{\begin{array}{c}
f(x)&\text{for }f(x)>0\\
0&\text{for }f(x)\leq0.
\end{array}\right.
$$
Show that $(f^+)^2$ is differentiable on $(a,b)$, and that its derivative is given by $2f^+(x)f'(x)$ at each $x$ in $(a,b)$.

[nooonuii]

Let $p\in (a,b)$.

Case 1 $f(p)>0$.

Since $f$ is continuous at $p$, there is a $\delta>0$ such that $f(x)>0$ for all $x\in (p-\delta,p+\delta)$.

Thus

$$
\lim_{h\to 0} \dfrac{(f^+)^2(p+h)-(f^+)^2(p)}{h} = \lim_{h\to 0} \dfrac{(f)^2(p+h)-(f)^2(p)}{h} = 2f(p)f'(p) = 2f'(p)f^+(p)

$$

Case 2 $f(p)\leq 0$.

Since $f$ is continuous at $p$, there is a $\delta>0$ such that $f(x)\leq 0$ for all $x\in (p-\delta,p+\delta)$.

Thus

$$
\lim_{h\to 0} \dfrac{(f^+)^2(p+h)-(f^+)^2(p)}{h} = \lim_{h\to 0} \dfrac{(f)^2(p+h)-(f)^2(p)}{h} = 0 = 2f'(p)f^+(p)

$$

Therefore, $(f^+)^2$ is differentiable with derivative $2f'f^+$.

[viista]

ขอบคุณครับ

[Mr.Com]

Beware the case that $f(p)=0$ !

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Mr.Com

Beware the case that $f(p)=0$ !

จริงด้วยครับ

[viista]

เจอปัญหาเคส $f(p)=0$ แล้วครับ แก้ยังไงดีครับ ผมลองเคส $f'(p)>0$ แต่ก็ยังเจอปัญหาเคส $f'(p)=0$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ viista

เจอปัญหาเคส $f(p)=0$ แล้วครับ แก้ยังไงดีครับ ผมลองเคส $f'(p)>0$ แต่ก็ยังเจอปัญหาเคส $f'(p)=0$

ลองไล่ตามนิยามดูครับ ว่าได้มั้ย

[kongp]

$f^+$ = $H^+$