HOMC 2018

[nowhere]

Let $T=\frac{1}{4}x^{2}-\frac{1}{5}y^{2}+\frac{1}{6}z^{2}$ where $x, y, z$ are real numbers such that $1\leqslant x, y, z \leqslant 4$ and $x-y+z=4$.
Find the smallest value of $10\times T$.

[NaPrai]

คำตอบคือ $23$ ครับ โดยให้ $(x,y,z)=(2,1,3)$ ก็จะได้ค่านี้

ต่อไปจะต้องพิสูจน์ว่า $10T \ge 23$ เพื่อการันตีว่าค่านี้คือค่าต่ำสุดแล้ว พิจารณา \begin{align*}10T &= 10\left(\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}+\frac{z^2}{6}\right) \\&\ge 10\left(\frac{(x+z)^2}{10}-\frac{y^2}{5}\right) &(โดยอสมการโคชี-ชวาร์ช) \\&=10\left(\frac{(y+4)^2}{10}-\frac{y^2}{5}\right) \\&=32-(y-4)^2 \\&\ge 32-(1-4)^2 &(\because 1\le y \le4)\\&=23\end{align*}

หมายเหตุ: สำหรับกรณีที่อสมการเป็นสมการได้นั้นต้องกลับไปดูเงื่อนไขการเป็นสมการของแต่ละอสมการที่ใช้ก็จะได้ว่า $y=1$ และ $x:y=2:3$ ประกอบกับเงื่อนไข $x-y+z=4$ เลยได้ว่า $10T$ จะมีค่าต่ำสุดที่ $(x,y,z)=(2,1,3)$