An inequality

[sbd]

Let a,b,c be positive real numbers such that ab+bc+ca=1. Prove that
abc(³ึa+b+³ึb+c+³ึc+a)ฃ³ึ6/3.

[sbd]

(แปลไทย) ให้ a,b,c เป็นจำนวนจริงบวกซึ่ง ab+bc+ca=1 จงพิสูจน์ว่า
abc(³ึa+b+³ึb+c+³ึc+a)ฃ³ึ6/3

(เฉลย) สังเกตุว่า สำหรับ x>0 ใดๆ
1+ax^3/(bc)=ab+bc+ca+ax^3/(bc)>=3ax
ดังนั้น
3abcx<=bc+ax^3
ทำนองเดียวกัน สำหรับทุก y,z>0 ได้ว่า
3abcy<=ca+by^3
และ
3abcz<=ab+cz^3
บวกทั้งสามอสมการได้ว่า
3abc(x+y+z)<=1+ax^3+by^3+cz^3
แทนค่า x=(b+c)^{1/3}, y=(c+a)^{1/3}, z=(a+b)^{1/3} จบ