ผม Integrate ข้อนี้ไม่ได้

1.อยากทราบว่า x^x เมื่อ integrate แล้ว จะได้อะไรครับ
(ผมลอง diff ดูแล้ว ได้ (x^x)(1+ln(x)) ผมก็เลยมา
คิดดูว่าถ้ามัน diff ได้ มันก็น่าจะ integrate ได้)

2. จำเป็นหรือไม่ที่ ฟังก์ชันใดที่หาอนุพันธ์ได้ ย่อม
หาปฏิยานุพันธ์ได้ด้วย (เช่นข้อแรก)

ตั้งแต่เรียนมายังไม่เคยเจอนะครับ.
คิดว่าน่าจะเป็นรูปแบบที่อินทิเกรตไม่ได้
ผมอาจจะรู้น้อยก็ได้เพราะเรียนcalมาแค่ 3 ตัว

แล้วถ้าใส่ ln เข้าจะได้หรือเปล่า เพราะมันจะได้
x ln x แล้วก็ใช้ by part อินทิเกรต แต่มันจะมีปัญหาคือ จะต้องใส่ ln ทั้งสองข้าง ถ้าเป็นอย่างนั้นแล้วจะใส่ได้ยังไง

[KS]

ง่ายมาก
y=x^x
ln y = x ln x
diff()
1/y dy = ( x/x + ln x ) dx

dy/dx = dx^x /dx = y*(1+ln x)

d(x^x)/dx = x^x*(1+ln x) <====

คุณ KS คงจะเข้าใจผิดนะครับ ประเด็นนี้เขาไม่ได้ให้ diff x^x แต่เขาให้อินทิเกรต ผมลองดูวิธีของคุณ Darm แล้ว ปัญหาที่เกิดขึ้นคงจะเป็นเพราะตัวสมการที่มาจาก
y = x^x
พอใส่ ln ทั้งสองข้างจะได้
ln y = ln x^x
ln y = x ln x
แต่พออินทิเกรตทั้งสองข้างแล้วมันก็จะเป็น
ln y dx = x ln x dx (เครื่องหมายอินทิกรัลขอละเอาไว้)
ตัว x ln x dx เวลาอินทิเกรตไม่น่ามีปัญหา แต่ ln y dx จะอินทิเกรตไม่ได้นี้แหละ ปัญหา แล้วผมก็ทำไม่เป็นด้วย

[NEWTON]

ผมเพิ่งนึกออกอีกแบบนึง แต่ไม่รู้ว่าถูกหรือเปล่านะ
จาก ln y = x ln x
จะได้ y = e^(x ln x)
หลังจากนั้นเราก็อินทิเกรตแค่ e^(x ln x) เท่านั้น แต่ว่า สมการใหม่ที่ผมคิดได้(แบบมั่ว ๆ) มันจะตรงกับ x^x มั้ยผมก็ไม่รู้ ลองเทียบกราฟดูเอาเอง ถ้าออกมาเหมือนกันก็แสดงว่าน่าจะใช่ แต่อินทิเกรตออกมายังไงผมก็ไม่รู้ เพราะว่าถนัดแต่ให้แนวคิดแต่ทำไม่เป็น(ยังอ่อนหัด) ถ้ายังไงก็ขอช่วย webmaster ช่วยทำให้ก็แล้วกันนะ

[KS]

ดูผิดครับ
คือ นิยามของ integral คือ พื้้นที่ ใต้กราฟ
ในกรณึ x^x จะำเป็น open-unbounded
จะไม่มี Explicit integral

[tunococ]

ผมลองใช้ Mathemetica แล้ว มันก็ไม่ให้คำตอบออกมา สงสัยจะทำไม่ได้จริงๆ (แต่มันมีพื้นที่จริงๆนะ)

ถ้าเกิดว่ามีพื้นที่อยู่จริงงั้นก็น่าจะอินทิเกรตได้ใช่มั้ย โจทย์ x^x จะอินทิเกรตได้หรือไม่คงไม่อยากสนแล้วแหละ (ตอบมาเยอะแล้ว ไม่ลงเอยซักที) แต่คราวนี้ผมสนผลที่เกิดจากการ diff ของ x^x นั่นก็คือ
x^x(1+ln x) มันน่าจะอินทิเกรตได้ x^x ใช่มั้ย แต่ว่าแค่ x^x ก็มีปัญหาซะแล้ว ใช้ by-part คงหมดหวัง

[gon]

มีอัลกอริทึมของนักคณิตศาสตร์ที่ชื่อ Risch ที่ใช้ตรวจสอบว่า ฟังก์ชันต่อเนื่องประเภทใดที่สามารถหาค่าอินทิกรัลได้ ซึ่งจะสามารถเขียนได้ในรูปผลบวกของหรือการรวมกันของฟังก์ชันปฐมภูมิ( finite combination of elementary functions.) ฟังก์ชันปฐมภูมิก็อย่างเช่น ฟังก์ชันพหุนาม , ฟังก์ชันตรีโกณและอินเวอร์สของมัน , ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและอินเวอร์สของมัน เป็นต้น
มีฟังก์ชันหลายประเภท ซึ่งเป็นฟังก์ชันพิเศษ ที่ไม่สามารถหาค่าอินทิกรัล แล้วเขียนอยู่ในรูปผลรวมดังกล่าวได้ ซึ่งจะเรียกว่า elliptic functions ตัวอย่างเช่น error function, และ gamma function เป็นต้น
error function เป็นฟังก์ชันที่เราใช้บ่อยที่สุดในวิชา ฟิสิกส์และสถิติ ซึ่งมันจะเขียนในรูปแบบของ
[2/sqrt(pi)] * integral ของ 0 ถึง x [e ^ (-t ^ 2) ] dt
ฟังก์ชัน x^x ก็เช่นกัน จัดอยู่ในพวกนี้


[ 10 เมษายน 2001: ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้วจากคุณ: gon ]

[xlover13]

ถ้างั้นช่วยแสดงตรงนี้หน่อยครับว่า
Integrate x^x(1+ ln x) = x^x + c
(อย่างที่คนอื่นๆ บอก x^x มัน diff ได้
x^x(1+ lnx) ผมเลยอยากรู้ว่าจะ integrate
กลับได้ยังไง)

[tunococ]

ก็ ทำกลับจากตอน diff สิครับ อย่างงี้

ให้ u = xlnx
จะได้ du/dx = 1 + lnx
ซึ่งทำให้ dx/du = 1 / (1 + lnx)

ในพจน์ int[(x ^ x)(1 + lnx)dx] ก็เอา du/du คูณเข้าไป ได้ว่า int[(x ^ x)(1 + lnx)(1 / (1 + lnx))du]
พจน์ (1 + lnx)(1 / (1 + lnx)) = 1 ดังนั้น
int[(x ^ x)(1 + lnx)dx] = int[(x ^ x)du]
จาก u = xlnx ได้ว่า e ^ u = x ^ x ดังนั้น
int[(x ^ x)(1 + lnx)dx] = int[(e ^ u)du] ซึ่งเท่ากับ
e ^ u หรือ x ^ x นั่นเอง

ลองดูที่... http://vcharkarn.com/snippets/board/...n20&number=714