ช่วยคิดหน่อย งง

lim เมื่อ n เข้าใกล้ infinity ของ
sqrt(n^2 + n + 1) + sqrt(n^2 + 1) - 2n
เป็นเท่าไหร่ คิดยังไง

มาดูวิธีไม่ฉลาดแต่ตรง ๆ ก่อนนะครับ.

1.มอง sqrt(n^2 + n + 1) + [ sqrt(n^2 + 1) - 2n ]
2.เอาคอนจูเกตคูณ คือเอา sqrt(n^2 + n + 1) - [ sqrt(n^2 + 1) - 2n ] คูณทั้งเศษและส่วน
จะได้ [4n (sqrt(n^2+1) - n) ] / [ sqrt(n^2 + n + 1) - sqrt(n^2 + 1) + 2n ]
3. มองเฉพาะ (sqrt(n^2+1) - n) เอาคอนจูเกตของมันคูณคือ เอา (sqrt(n^2+1) + n) คูณทั้งเศษและส่วน
จะได้ 4n/sqrt(n^2+1) + n
4. แทนค่า ข้อ 3. กลับลงไปในข้อ 2.
5. เอา n หารทั้งเศษและส่วน และจัดรูปจะได้
[ 4/(sqrt(n^2+1)+n) + 1 ] / [ sqrt(1 + 1/n + 1/n^2) - sqrt(1+1/n^2) + 2 ]
จะได้ลิมิตเมื่อ n -->infinite คือ ( 0 + 1 ) / ( 1 - 1 + 2 ) = 1/2

วิธีที่ ฉลาดและควรทำ

1. มองข้าม short เพราะ mเราไปตั้ง infinite ตัดเหลือเพียง
= sqrt(n^2+n) + sqrt(n^2) - 2n
= sqrt(n^2+n) + n - 2n
= sqrt(n^2+n) - n
2. เอาคอนจูเกตคูณทั้งเศษส่วน คือเอา sqrt(n^2+n) + n
จะได้ n / sqrt(n^2+n) + n
3. เอา n หารตลอดทั้งเศษส่วนจะได้และจัดรูป
1 / sqrt( 1 + 1/n) + 1
4. take limit ได้ 1 / 1 +1 = 1/2 ง่ายกว่เยอะครับ

+ - ตัดได้
* / ตัดไม่ได้ เพราะมีผลกระทบ

แยกเป็น 2 ส่วน คือ ส่วนแรก sqrt(n^2 + n + 1) - n
กับ ส่วนสอง sqrt(n^2 + 1) - n
ทำทีละส่วน
1. ส่วนแรก เอา conjugate คือ sqrt(n^2 + n + 1) + n คูณและหาร
จะได้ [n + 1] / [sqrt(n^2 + n + 1) + n]
เอา n หารตลอดทั้งเศษและส่วน จะได้
[1 + 1/n] / [sqrt(1 + 1/n + 1/n^2) + 1]
take limit n --> infinity จะได้ 1 / [sqrt(1) + 1] = 1/2
2. ส่วนสอง เอา conjugate คือ sqrt(n^2 + 1) + n คูณและหาร
จะได้ 1 / [sqrt(n^2 + 1) + n]
take limit n --> infinity จะได้ 1 / infinity = 0
เอา 2 ส่วนบวกกัน จะได้คำตอบคือ 1/2