เทยลำ

[Spotanus]

ให้ $x,y,z \geq 0$ ซึ่ง $x^{3}+y^{3}+z^{3}+xyz=4$
จงแสดงว่า
$$x^{3}y+y^{3}z+z^{3}x \leq 3$$


(อยากได้ solution กระจาย อ่ะครับ เพราะผมทำวิธีธรรมดาแล้วง่ายมากเลย (ล้อเล่น ))

กดดู

นั่นไง กดจริงๆด้วย

555+

ใช้ AM-GM ดีดีครับ

[Spotanus]

กะไว้แล้วว่า โจทย์ซีรีส์ "ทำเลย" จะไม่มีคนทำได้

[RoSe-JoKer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Spotanus

กะไว้แล้วว่า โจทย์ซีรีส์ "ทำเลย" จะไม่มีคนทำได้

ผมใช้เวลาคิดข้อนี้นานมากเลยครับ (เพิ่งหาวิธีคิดที่ไม่กระจายได้) ตอนแรกผมก็นึกว่าจะต้องใช้อสมการ
$3(x^3y+y^3z+z^3x)\leq (x^2+y^2+z^2)^2$ แต่จริงๆแล้วกลับไม่มีอะไรเลย -*-
สมมุติว่า (ขอบคุณคุณ beginner01 ด้วยนะครับ :-))
x=max{x,y,z}
จาก $x^3=4-xyz-y^3-z^3$
เราได้ว่าอสมการที่จะต้องพิสูจน์
$x^3y+y^3z+z^3x\leq 3$
$\leftrightarrow 4y-y^4-yz^3+y^3z-3\leq (y^2z-z^3)x$
$\leftrightarrow \frac{4y-y^4-yz^3+y^3z-3}{y^2z-z^3}\leq x$
แต่ว่า
$\frac{4y-y^4-yz^3+y^3z-3}{y^2z-z^3}\leq y$
$\leftrightarrow 4y\leq y^4+3$ ซึ่งเป็นจริงโดยอสมการ AM-GM
ดังนั้นเราจึงได้ว่า
$\frac{4y-y^4-yz^3+y^3z-3}{y^2z-z^3}\leq x$
ตามต้องการ - -

[beginner01]

WLOG ไม่ได้ครับ อสมการที่จะพิสูจน์ไม่สมมาตร
ทางที่ดี แก้ตรง WLOG เป็น ให้ $a$ มีค่ามากที่สุดในบรรดา $a,b,c$ จะดีกว่าครับ

[Anonymous314]

โอ้ สุดยอดเลยครับ สมกับเป็นคุณ RJK เลยครับผม