พิสูจน์ให้หน่อยครับ

[winlose]

Let $x,y,z\not= 0$ and $xyz=1$
Prove that
$$(x+y+z)^2(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^2 \leqslant 9(x^2+y^2+z^2)(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2})$$

[owlpenguin]

แทน $x=y=z=1$ ได้ LHS$=81$ RHS=$36$ ขัดแย้งครับ
อสมการจะจริงถ้าเปลี่ยน $4$ ตรงฝั่งขวามือ เป็น $9$ ครับ

[winlose]

ครับ แก้แล้วครับ

[owlpenguin]

Hint

สังเกตว่ามี $2$ กรณี ดังนี้
i)$x,y,z$ เป็นบวก ก็ข้ามขั้นนี้ไปเลย
ii)มีสองตัวที่เป็นลบ อีกตัวเป็นบวก โดยไม่เสียนัยทั่วไป ให้ $x,y<0$ ได้ว่า
$$\left(\sum_{cyc}\frac{1}{x}\right)^2=\left(\left|\sum_{cyc}\frac{1}{x}\right|\right)^2$$
$$\leq\left(\sum_{cyc}\left|\frac{1}{x}\right|\right)^2$$
$$=\left(\sum_{cyc}\frac{1}{x'}\right)^2$$
โดยที่ $x'=-x,y'=-y$ สรุปจะได้แล้วว่าทั้งสามตัวแปรมีค่ามากกว่า $0$

ต่อไป จะใช้ Chebyshev, Cauchy, Power-mean, หรือกระจายแล้ว AM-GM ก็ได้ เพื่อพิสูจน์ว่า
$$\left(\sum_{cyc}x\right)^2\leq 3\left(\sum_{cyc}x^2\right)$$
และ $$\left(\sum_{cyc}\frac{1}{x}\right)^2\leq 3\left(\sum_{cyc}\frac{1}{x^2}\right)$$
แล้วก็จะได้ว่าอสมการเป็นสมการเมื่อ $x=y=z=1$ ครับ

[nooonuii]

ใช้อสมการนี้สองครั้งก็จบครับ

$(a+b+c)^2\leq 3(a^2+b^2+c^2)$

อสมการนี้จริงสำหรับจำนวนจริงใดๆ และเป็นจริงโดยปราศจากเงื่อนไข

ดังนั้นเงื่อนไข $xyz=1$ ไม่จำเป็นต้องมีครับ

[The jumpers]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ winlose

Let $x,y,z\not= 0$ and $xyz=1$
Prove that
$$(x+y+z)^2(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^2 \leqslant 9(x^2+y^2+z^2)(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2})$$

\[(x+y+z)^2\leqslant 3(x^2+y^2+z^2)\]
\[,(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^2\leqslant 3(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2})\]
\[\Rightarrow (x+y+z)^2(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^2 \leqslant 9(x^2+y^2+z^2)(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2})\]

[วะฮ่ะฮ่ะฮ่า]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ winlose

Let $x,y,z\not= 0$ and $xyz=1$
Prove that
$$(x+y+z)^2(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^2 \leqslant 9(x^2+y^2+z^2)(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2})$$

อย่างเสียเวลาทำดจทย์ผิดสิครับ

[winlose]

ผิดยังไงครับ