Maximum(TUGMOS)

[tatari/nightmare]

ให้ $a,b,c\geq 0$ และไม่เป็น 0 พร้อมกันทั้งหมด จงหาค่าสูงสุดของ
$$\dfrac{a^3+b^3+c^3}{(a+b+c)^3} -\dfrac{a^4+b^4+c^4}{(a+b+c)^4}$$

My Idea

เนื่องจากนิพจน์ดังกล่าวสมมาตรในตัวแปร โดยไม่เสียนัยจึงสมมติว่า $a\geq b\geq c\geq 0$
กำหนดฟังก์ชัน
$f(a,b,c) = \dfrac{(a^3+b^3+c^3)}{(a+b+c)^3} -\dfrac{a^4+b^4+c^4}{(a+b+c)^4}$
เมื่อ$a\geq b\geq c\geq 0$
ถ้าเราแสดงได้ว่า $f(a+t,b,c-t)\geq f(a,b,c)$ สำหรับ $t>0$ ก็จะได้ในสิ่งที่ต้องการ
นั่นคือเมื่อค่า $t$ เพิ่มขึ้นเรื่อยๆ ค่าของ $f$ ก็จะเพิ่มขึ้นตามไปด้วย แต่ในขณะเดียวกันค่าของ $c-t$ ก็จะลดลงเรื่อยๆ
ถามว่าค่าดังกล่าวจะสามารถลดลงได้เรื่อยๆโดยไม่สิ้นสุดเลยได้หรือไม่ ??????
..................................................
คำตอบคือเป็นไปไม่ได้ เพราะว่าเรา defined โดเมนของ $f$ บนจำนวนจริงที่ไม่ติดลบ
ฉะนั้นเมื่อลดลงไปเรื่อยๆเมื่อถึงจุดหนึ่งเราจะไม่สามารถลดค่าของ $c-t$ ได้อีกซึ่งก็คือได้ว่าเท่ากับ $0$ นั่นเอง
หรือนั่นคือ $t=c$ ดังนั้นค่าของ $f$ ที่จุด $(a+c,b,0)$ จะเป็นค่าสูงสุดของ $f$ !!!
ซึ่งเราสามารถจัดรูปได้ว่า
$$f(a+c,b,0)=\dfrac{(ab+bc)(a^2+b^2+c^2+2ca)}{(a+b+c)^4}$$
$$=\dfrac{(2ab+2bc)(a^2+b^2+c^2+2ca)}{2(a+b+c)^4}$$
$$\leq \dfrac{1}{2(a+b+c)^4}[\dfrac{(a+b+c)^2}{2}]^2=\dfrac{1}{8}$$
(โดยอสมการ AM-GM)
เป็นการง่ายที่จะแสดงว่า $f(1,1,0)=\frac{1}{8}$ ฉะนั้นจึงสรุปได้ว่าค่าสูงสุดของมันเท่ากับ $\frac{1}{8}$ #

Poon.

[Anonymous314]

ลองให้
$p=a+b+c$
$q=ab+bc+ca$
$r=abc$
อะไร ๆ มันจะง่ายขึ้นครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tatari/nightmare

ให้ $a,b,c\geq 0$ และไม่เป็น 0 พร้อมกันทั้งหมด จงหาค่าสูงสุดของ
$$\dfrac{a^3+b^3+c^3}{(a+b+c)^3} -\dfrac{a^4+b^4+c^4}{(a+b+c)^4}$$

โจทย์สวยมากๆครับ

ขอใช้พลังจาก Brute force นะครับ

My Solution:

ให้

$p=a+b+c$

$q=ab+bc+ca$

$r=abc$

จะได้ว่า

$a^3+b^3+c^3=p^3-3pq+3r$

$a^4+b^4+c^4=p^4-4p^2q+2q^2+4pr$

normalize โดยให้ $p=1$ จะได้

$\dfrac{a^3+b^3+c^3}{(a+b+c)^3} -\dfrac{a^4+b^4+c^4}{(a+b+c)^4}=q-2q^2-r$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\leq q-2q^2$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\leq\dfrac{1}{8}$

อสมการสุดท้ายสมมูลกับ $2(q-\dfrac{1}{4})^2\geq 0$

สมการเป็นจริงเมื่อ $r=0,q=\dfrac{1}{4}$

ดังนั้น สมการเป็นจริงเมื่อ มีตัวหนึ่งเป็นศูนย์และอีกสองตัวเท่ากับ $\dfrac{1}{2}$

เพราะฉะนั้นค่าสูงสุดคือ $\dfrac{1}{8}$

[tatari/nightmare]

55555+.-ขอบคุณท่านทั้งสองสำหรับอีก solution อันแสนจะสั้นด้วยนะครับ

[วะฮ่ะฮ่ะฮ่า]

โจทย์หง่ายดีครับ เดี๋ยวให้ดีsolotionของผมได้

ให้

$p=a+b+c$

$q=ab+bc+ca$

$r=abc$

จะได้ว่า

$a^3+b^3+c^3=p^3-3pq+3r$

$a^4+b^4+c^4=p^4-4p^2q+2q^2+4pr$

normalize โดยให้ $p=1$ จะได้

$\dfrac{a^3+b^3+c^3}{(a+b+c)^3} -\dfrac{a^4+b^4+c^4}{(a+b+c)^4}=q-2q^2-r$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\leq q-2q^2$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\leq\dfrac{1}{8}$

อสมการสุดท้ายสมมูลกับ $2(q-\dfrac{1}{4})^2\geq 0$

สมการเป็นจริงเมื่อ $r=0,q=\dfrac{1}{4}$

ดังนั้น สมการเป็นจริงเมื่อ มีตัวหนึ่งเป็นศูนย์และอีกสองตัวเท่ากับ $\dfrac{1}{2}$

เพราะฉะนั้นค่าสูงสุดคือ $\dfrac{1}{8}$

Ultraman.

[gnopy]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ วะฮ่ะฮ่ะฮ่า

โจทย์หง่ายดีครับ เดี๋ยวให้ดีsolotionของผมได้

ให้

$p=a+b+c$

$q=ab+bc+ca$

$r=abc$

จะได้ว่า

$a^3+b^3+c^3=p^3-3pq+3r$

$a^4+b^4+c^4=p^4-4p^2q+2q^2+4pr$

normalize โดยให้ $p=1$ จะได้

$\dfrac{a^3+b^3+c^3}{(a+b+c)^3} -\dfrac{a^4+b^4+c^4}{(a+b+c)^4}=q-2q^2-r$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\leq q-2q^2$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\leq\dfrac{1}{8}$

อสมการสุดท้ายสมมูลกับ $2(q-\dfrac{1}{4})^2\geq 0$

สมการเป็นจริงเมื่อ $r=0,q=\dfrac{1}{4}$

ดังนั้น สมการเป็นจริงเมื่อ มีตัวหนึ่งเป็นศูนย์และอีกสองตัวเท่ากับ $\dfrac{1}{2}$

เพราะฉะนั้นค่าสูงสุดคือ $\dfrac{1}{8}$

Ultraman.

ลอกเค้ามาชัดๆ อายไหมครับพี่น้อง

[วะฮ่ะฮ่ะฮ่า]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gnopy

ลอกเค้ามาชัดๆ อายไหมครับพี่น้อง

ผมคืดได้ก่อนมาตั่งนายแล้วครับ ไมาต้องห่วงครับ

[[SIL]]

ถ้าผมเป็นผู้ปกครองคุณผมจะภูมิใจมากๆครับที่มีคนใกล้เก่งๆอย่างนี้

[seemmeriast]

อันนี้เป็นวิธีที่ผมคิดไว้ตอนที่ออกโจทย์ข้อนี้ครับ

Solution

จาก A.M.-G.M. จะได้ $(a^2+b^2+c^2)(2ab+2bc+2ca) \leq frac{(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca)^2}{4} = frac{(a+b+c)^4}{4}$

ดังนั้น
$\frac{a^3+b^3+c^3}{(a+b+c)^3} - \frac{a^4+b^4+c^4}{(a+b+c)^4} = \frac{(a+b+c)(a^3+b^3+c^3) - (a^4+b^4+c^4)}{(a+b+c)^4}$
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~= \frac{ab(a^2+b^2) + bc(b^2+c^2) + ca(c^2+a^2)}{(a+b+c)^4}$
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\leq \frac{(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^4}$
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\leq \frac{(a+b+c)^4}{8(a+b+c)^4}$
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~= \frac{1}{8}$