ปัญหาอสมการ

[Maphybich]

จงพิสูจน์ว่า $\displaystyle{\frac{1}{10} < \frac{1}{2}\times \frac{3}{4}\times \frac{5}{6} \times \frac{7}{8} \times \cdots \times \frac{99}{100} < \frac{1}{15}}$

[seemmeriast]

อสมการต้องกลับข้างกันรึเปล่าครับ

ข้างซ้าย
ให้ $S = \frac{1}{2}\times \frac{3}{4}\times \frac{5}{6} \times \cdots \times \frac{99}{100}$
$~~~~~= \frac{99}{100}\times (1-\frac{1}{2})(1-\frac{1}{4})(1-\frac{1}{6})...(1-\frac{1}{98})$

จะได้ $100S = \frac{3}{2}\times \frac{5}{4}\times \frac{7}{6} \times \cdots \times \frac{99}{98}$
$~~~~~~~~~~~~~= (1+\frac{1}{2})(1+\frac{1}{4})(1+\frac{1}{6})...(1+\frac{1}{98})$

ดังนั้น $100S^2 = \frac{99}{100}\times (1-\frac{1}{2^2})(1-\frac{1}{4^2})(1-\frac{1}{6^2})...(1-\frac{1}{98^2})$
$~~~~~~~~~~~~~~~< \frac{99}{100}$
$~~~~~~~~~~~~~~~< 1$

ดังนั้น $S < \frac{1}{10}$

[RoSe-JoKer]

ผมผิดไปแล้วครับ = =" ลืมเช็คขั้นฐานจริงๆ นึกว่าคงจริงอยู่แล้วแหละ

[Onasdi]

จากที่คุณ seemmeriast ทำ สิ่งที่คุณ RoSe-JoKer กำลังพิสูจน์อยู่ เป็นข้อความที่ไม่จริงครับ
ผิดตรงที่ไม่่ใช่เช็คขั้นฐานครับ

[nooonuii]

ลองพิสูจน์อสมการนี้ดูสิครับ ใช้ induction ได้ไม่ยาก

สำหรับทุก $n\geq 1$

$\dfrac{1}{2\sqrt{n}} \leq \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{5}{6}\cdots\dfrac{(2n-1)}{2n} \leq \dfrac{1}{\sqrt{3n+1}}$

แทนค่า $n=50$ จะได้อสมการ

$\dfrac{1}{15}<\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{5}{6}\cdots\dfrac{99}{100} < \dfrac{1}{12}$