My New Inequality Problem

[nooonuii]

เพิ่งคิดโจทย์อสมการได้ข้อนึง เซียนๆทั้งหลายลองคิดดูครับ

ให้ a,b,c เป็นจำนวนจริงบวก จงพิสูจน์ว่า
\[ \Large{ \frac{a}{\sqrt{2a^2+b^2+c^2}} + \frac{b}{\sqrt{a^2+2b^2+c^2}} + \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+2c^2}} \leq \frac{3}{2} } \]

[Punk]

ใช้ Jensen's inequality

[nooonuii]

พี่ Punk พิสูจน์ยังไงครับ ผมใช้อสมการโคชีกับ AM-GM ครับ

[Punk]

อืม ถ้าใช้ Cauchy กับ AM-GM ก็ยิ่งดีสิ ใช้ Jensen มันต้องอาศัย Calculus อย่างงี้ต้องให้ nuii เฉลยก่อนจะดีกว่ามั้ง

[nooonuii]

อืม พอจะเข้าใจแล้วครับว่าใช้ Jensen's inequality ยังไง ส่วนของผมค่อนข้างยืดยาว รอเซียนท่านอื่นๆมาคิดก่อนละกันครับ

[nooonuii]

อ่า รู้สึกว่าผมจะใช้ Jensen's inequality ผิดครับคุณ Punk ตอนแรกคิดว่าถูกแล้วเชียว
ตอนนี้มีทางที่จะคิดได้อีกวิธีนึงคือการแทนค่าด้วยฟังก์ชันตรีโกณมิติ แต่ผมยังจบไม่ลงครับเพราะไม่มีความรู้เกี่ยวกับอสมการตรีโกณเท่าไหร่ คิดว่าน่าจะออกทางนั้นได้แน่นอนครับ
ข้างล่างเป็นวิธีคิดของผมครับ

\[ \large{ 2a+b+c = a+a+b+c \leq 2\sqrt{2a^2+b^2+c^2} } \]
\[ \large{ a+2b+c = a+b+b+c \leq 2\sqrt{a^2+2b^2+c^2} } \]
\[ \large{ a+b+2c = a+b+c+c \leq 2\sqrt{a^2+b^2+2c^2} } \]
\[ \large{ LHS \leq 2(\frac{a}{2a+b+c} + \frac{b}{a+2b+c} + \frac{c}{a+b+2c}) \leq 2(\frac{3}{4}) = \frac{3}{2} } \]
อสมการสุดท้ายพิสูจน์โดยการให้
A = 2a + b + c , B = a + 2b + c, C = a + b + 2c
แล้วเขียน a,b,c ให้อยู่ในรูปของ A,B,C สุดท้ายจะได้อสมการง่ายๆซึ่งพิสูจน์โดยใช้ AM-GM ได้ครับ

[Punk]

ผมใช้ Jensen's inequality อย่างงี้ครับ
ให้ \( f(t)=1/\sqrt{2+t}\) ซึ่งเป็น convex function ดังนั้น
\[
\frac{1}{\sqrt{2+\frac{b^2}{a^2}+\frac{c^2}{a^2}}}+\frac{1}{\sqrt{2+\frac{c^2}{b^2}+\frac{a^2}{b^2}}}+\frac{1}{\sqrt{2+\frac{a^2 }{c^2}+\frac{b^2}{c^2}}}\leq
\frac{3}{\sqrt{2+\frac{1}{3}\sum_{\text{cyc}}\left(\frac{b^2}{a^2}+\frac{c^2}{a^2}\right)}}\leq\frac{3}{\sqrt{2+2}}=\frac{3}{2}
\]
อสมการสุดท้ายใช้ AM-GM inequality

[nooonuii]

ผมว่าอสมการแรกน่าจะกลับข้างมากกว่านะครับ

[Punk]

Oops...จริงด้วยแฮะ ผมนึกว่าใช้วิธีนี้จะสั้นขึ้น อืมสงสัยต้องใช้วิธีเดิมแล้ว เอาใว้ดูเฉลยของคนอื่นก่อน