อสมการอีกแล้ว

[Punk]

ให้ \(n\geq2\) และ \( x_1,\ldots,x_n\geq0 \) โดย \( x_1+\cdots+x_n=1 \) จงหาค่าสูงสุดของ
\[
\sum_{i<j}x_ix_j(x_i^3+x_j^3)
\]

[nooonuii]

ยากจังเลยครับ

[Punk]

ข้อนี้ได้แรงบันดาลใจจากการทำโจทย์โอลิมปิกปี 1999 ครับ กรณีทั่วไปคือถามว่าด้วยเงื่อนไขเดียวกัน จงหาค่าสูงสุดของ
\[
\sum_{i<j}x_ix_j(x_i^k+x_j^k)
\]
เมื่อ \( k\geq1\)

[gools]

ยากครับ
พี่ punk ทำยังไงครับ

[Punk]

Hint:
\[
\sum_{i<j}x_ix_j(x_i^3+x_j^3)=\sum_{i}x_i^4(1-x_i)
\]
และโดยไม่เสียนัยทั่วไป สมมติว่า \( x_1\geq x_2\geq\cdots\geq x_n\)

[Char Aznable]

กรณี n=2 ; x₁x₂(x₁³+x₂³) = x₁x₂(x₁+x₂)(x₁²-x₁x₂+x₂²) = (x₁x₂)(1-3x₁x₂) ฃ 1/12
(จากA.M.-G.M.)

[Punk]

แนวคิดข้อนี้รอดูในวารสาร My Maths ฉบับหน้าครับ (ถ้าได้ลง) เรื่อง"อสมการ" ตอนที่ 1
คำตอบที่ น้อง ปพน ทำได้เป็นคำตอบที่ถูกต้องครับ

[waat]

สมดุลดีที่สุด x_i=1/n for all i