Inequality Problem

[Char Aznable]

ให้ a₁ , a₂ , ... , a_n เป็นลำดับเลขคณิตของจำนวนจริงบวกที่เรียงจากมากไปน้อย จงพิสูจน์ว่า
a₁^1/2+a₂^1/2+...+a_n^1/2 ณ (n-1)(a₁a_n)^1/4

[nongtum]

ยังไม่ได้แก้ แต่ทิ้งไว้เป็น reference

ให้ \(a_1\ge{}a_2\ge\ldots\ge{}a_n>0\) โดย Rearrangement inequality จะได้
\[\sum_{i=1}^n{a_i^{1/4}\cdot{}a_i^{1/4}}
\ge\sum_{i=1}^n{a_1^{1/4}\cdot{}a_j^{1/4}}
\ge{}n(a_1a_n)^{1/4}\ge{}(n-1)(a_1a_n)^{1/4}.\]

[Char Aznable]

วิธีผมนะครับ ใช้ A.M.-G.M.-H.M ครับ

ให้ผลต่างระหว่างพจน์คือ d จะได้ (a₁)^1/2+...+(a_n)^1/2 ณ (1/2)(a₁^1/2+2(a₂)^1/2+...+2(a_n-1)^1/2+a_n^1/2)
= d/(a₁^1/2-a₂^1/2)+...+d/(a_n-1^1/2-a_n^1/2)
(am-hm)ณ d(n-1)²/(a₁^1/2-a_n^1/2)
= (1/2)(n-1)[(a₁)^1/2+(a_n)^1/2]
(am-gm)ณ(n-1)(a₁a_n)^1/4

[Char Aznable]

ของพี่nongtumอะครับ ผมคิดว่าอสมการอันแรกมันกลับข้างรึเปล่าครับเพราะ a₁ มันมีค่ามากสุดครับ