ผิดที่ไหน งงอ่ะ

lim เมื่อ n เข้าใกล้ infinity ของ (1+2+3+...+n) / n^2

วิธีคิดที่ 1
= lim [ n(n+1)/2n^2 ]
= lim [ 1/2 + 1/2n ]
= 1/2

วิธีคิดที่ 2
= lim [ 1/n^2 + 2/n^2 + 3/n^2 + ... + n/n^2 ]
= lim 1/n^2 + lim 2/n^2 + lim 3/n^2 + ... + lim n/n^2
= lim 1/n^2 + 2 lim 1/n^2 + 3 lim 1/n^2 + ... + n lim 1/n^2
= lim 1/n^2 [1+2+3+...+n]
= 0

อยากทราบว่า วิธีอันไหนผิด และผิดตรงไหน

วิธีที่สองผิดแน่นอนครับ เพราะว่าตรงบรรทัดที่ 4 เข้าใจ
ว่าคุณอาจจะเข้าใจผิดครับ ความจริงตรงบรรทัดที่ 4
มันจะเป็น lim [1+2+3+...+n]/n^2 ซึ่งก็เป็นโจทย์เดิม
นั่นเอง จะเห็นว่าวิธีนี้ ไม่ได้ช่วยให้คำตอบมันออกมา
ส่วนวิธีที่หนึ่ง ถูกต้องแล้วครับ

ถ้าจากบรรทัดที่ 4 ผมมอง lim 1/n^2 เป็นค่าคงที่ตัวนึง การที่ผมแยกตัวประกอบอบ่างนี้ ก็ไม่ถือว่าผิดนิครับ

แต่คุณเอกครับ [1+2+3+...+n] มันอยู่ข้างบนนะครับ
ไม่ได้คูณอยู่กับ n^2 ซึ่งอยู่ข้างล่าง
เพราะฉะนั้นจะถือว่า ด้านล่างเข้า
ใกล้ infinity ไม่ได้นะครับ

ไม่ได้เถียงน๊ะครับ แต่ไม่เข้าใจ
ก็มันคือตัวแปรเหมือนกันไม่ใช่หรอครับ มันหมายความว่า
ข้างบนมันบวกกันไปเรื่อยๆ 1+2+3+....+.... ไม่ใช่หรอครับ
ส่วนข้างล่างนี้ก็กรณีเดียวกัน คือ n เป็น infinity นิครับ

งั้นอธิบายอย่างนี้ก็แล้วกัน ว่าวิธีที่สอง ไม่ถูกต้องตรงไหน

lim เมื่อ n เข้าใกล้ infinity ของ (1+2+3+...+n) / n^2
= lim [ 1/n^2 + 2/n^2 + 3/n^2 + ... + n/n^2 ]
= lim 1/n^2 + lim 2/n^2 + lim 3/n^2 + ... + lim n/n^2
= lim 1/n^2 + 2 lim 1/n^2 + 3 lim 1/n^2 + ... + n lim 1/n^2
= 0 + 0 + 0 + ... + 0 (หรือ 0 บวกกัน infinity ตัว)
= ????

ถ้าเราหาลิมิตแบบนี้ จะไม่สามารถสรุปได้ว่าค่าลิมิตเป็นเท่าไร เนื่องจากเป็นรูปแบบที่ไม่สามารถสรุปได้ เช่นเดียวกับรูปแบบต่อไปนี้
0 * infinity , 0 / 0 , infinity / infinity , 0 ^ infinity , infinity ^ 0 จำเป็นต้องแปลงให้อยู่ในรูปแบบอื่นที่ไม่ใช่แบบนี้

เข้าใจครับๆๆ ขอบคุณมากๆๆ