พหุนามCyclic

[[Q]ED[C]MB]

$a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)$ แยกตัวประกอบได้

$a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)=k(a-b)(b-c)(c-a)$
มองไม่ออกอะคับว่า หาค่า k ยังไง พอดีอ่านจากหน้าเว็บ(เสริมประสบการณ์ชุดที่23)แล้วยังไม่เข้าใจ

[nooonuii]

แทนค่า $a,b,c$ ที่มีค่าต่างกันสักชุดก็ได้แล้ว

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

ถ้าอยากทำยาวๆก็ต้องเริ่มจาก $b-c+c-a+a-b=0$
ดังนั้น$(a-b)=-(b-c)-(c-a)$
แทนใน$a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)=a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(-(b-c)-(c-a))$
$=a^2(b-c)+b^2(c-a)-c^2(b-c)-c^2(c-a)$
$=(a^2-c^2)(b-c)+(b^2-c2)(c-a)$
$=(a+c)(a-c)(b-c)+(b+c)(b-c)(c-a)$
$=(-a-c)(c-a)(b-c)+(b+c)(b-c)(c-a)$
$=(b-c)(c-a)(-a-c+b+c)$
$=(b-c)(c-a)(b-a)$
$=-(b-c)(c-a)(a-b)$ได้ $k=-1$
ถ้าอยากได้คำตอบฉับไวต้องปรบมือให้คุณnooonuiiครับ

[[Q]ED[C]MB]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย

ถ้าอยากทำยาวๆก็ต้องเริ่มจาก $b-c+c-a+a-b=0$
ดังนั้น$(a-b)=-(b-c)-(c-a)$
แทนใน$a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)=a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(-(b-c)-(c-a))$
$=a^2(b-c)+b^2(c-a)-c^2(b-c)-c^2(c-a)$
$=(a^2-c^2)(b-c)+(b^2-c2)(c-a)$
$=(a+c)(a-c)(b-c)+(b+c)(b-c)(c-a)$
$=(-a-c)(c-a)(b-c)+(b+c)(b-c)(c-a)$
$=(b-c)(c-a)(-a-c+b+c)$
$=(b-c)(c-a)(b-a)$
$=-(b-c)(c-a)(a-b)$ได้ $k=-1$
ถ้าอยากได้คำตอบฉับไวต้องปรบมือให้คุณnooonuiiครับ

งงตรงสีแดงอะคับ แล้วอยากรู้ว่าทำไมเราต้องเริ่มจาก $b-c+c-a+a-b=0$ ด้วยอะคับ

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

ตรงสีแดงคือดึง-1ออกจากเทอม$(a-c)$เอาไปคูณเข้าในเทอม$(a+c)$ที่อยู่ข้างหน้าเพื่อให้เกิดตัวร่วมครับ
ส่วนคำถามที่ว่าทำไมเริ่มจาก$b-c+c-a+a-b=0$เพราะมันคือความเป็นจริงเริ่มต้นของโจทย์แนวcyclicครับ
พอเราเริ่มจากความจริงนี้มันจะเกิดเทอมตัวร่วมให้เราดึงตัวประกอบได้
ว่าแล้วก็ลองทำกรณีนี้ดูครับ
"จงแยกตัวประกอบของ$a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b)$"

[[Q]ED[C]MB]

ขอบคุณสำหรับทุกคำตอบนะคับ จากโจทย์ที่ให้มา ก็เป็นตัวอย่างในหน้าเว็บ
แต่ผมจะขอทำในส่วนที่ยังไม่เข้าใจละกันนะคับ คือในส่วนของการหาค่า k
$a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b)$
จะขอเริ่มตรงที่ เมื่อเราแยกตัวประกอบได้เป็น
$a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b)=k(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$
การหาค่า k ถ้าลองทำแบบพี่ดู จะได้
จาก(a-b)=-(b-c)-(c-a) แทนใน$a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b)$
จะได้ $a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3[-(b-c)-(c-a)]$
$=a^3(b-c)+b^3(c-a)-c^3(b-c)-c^3(c-a)$
$=(a^3-c^3)(b-c)+(b^3-c^3)(c-a)$
จากนี้ก็เข้าสู่ผลต่างกำลังสาม
$=[(a-c)(a^2+ac+c^2)(b-c)][(b-c)(b^2+bc+c^2)(c-a)]$
$=[(c-a)(-a^2-ac-c^2)(b-c)][(b-c)(b^2+bc+c^2)(c-a)]$
$=(b-c)(c-a)[(-a^2-ac+-c^2)+(b^2+bc+c^2)]$
$=(b-a)(b-c)(c-a)[a+b+c]$
$=-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$ ได้ค่า k=-1
พอทำถูกไหมคับ
แต่วิธีแทนค่า a,b,c รวมถึงการเทียบสัมประสิทธ์จากตัวอย่างหน้าเว็บนั้น ผมยังไม่ค่อยเข้าใจ

[nooonuii]

มันเป็นเอกลักษณ์ครับ หมายความว่าสูตรนี้จะเป็นจริงทุกจำนวน $a,b,c$

เราก็สามารถสุ่มจำนวนมาสักชุดนึง ซึ่งเมื่อแทนค่าเข้าไปในสูตรทุกอย่างก็ยังจริง