Inequality Marathon

[Spotanus]

39.อันนี้ ผมตั้ง Lemma ก่อนละกัน (จริงๆ ไม่ต้องตั้งก็ได้ แต่เห็นว่า ตั้งแล้วมันเท่ดี)
Proof Lemma : สำหรับ \(x,y,z>0\) ใดใด และ \(xyz\geq 1\) จะได้ว่า
\(x^{5}+y^{5}+z^{5}\geq x^{3}+y^{3}+z^{3}\)

Proof Lemma

จาก Rearrangement Inequality จะได้ว่า
\(x^{5}+y^{5}+z^{5}\geq x^{4}y+y^{4}z+z^{4}x\geq x^{2}y^{2}z+x^{2}yz^{2}+xy^{2}z^{2}=\frac{1}{x}+ \frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)
และ จาก Cauchy's Inequality จะได้ว่า
\(\sqrt{x^{5}+y^{5}+z^{5}}sqrt{\frac{1}{x}+ \frac{1}{y}+\frac{1}{z}}\geq x^{2}+y^{2}+z^{2}\)
จากสองอสมการ นำมารวมกัน จะได้
\(x^{5}+y^{5}+z^{5}\geq x^{3}+y^{3}+z^{3}\)
ตามต้องการ

จากอสมการที่กำหนดให้ จะสมมูลกับ อสมการ (จัดรูปได้)
\(\frac{1}{x^{5}+y^{2}+z^{2}}+\frac{1}{x^{2}+y^{5}+z^{2}}+\frac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{5}}\geq \frac{3}{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \)

แต่จาก Cauchy's และ Lemma จะทำให้ได้ว่า
\(\frac{1}{x^{5}+y^{2}+z^{2}}+\frac{1}{x^{2}+y^{5}+z^{2}}+\frac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{5}}\geq \frac{9}{\left(x^{5}+y^{5}+z^{5}\right) +2\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) }\geq \frac{3}{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \)

จะได้ว่า อสมการที่โจทย์กำหนดเป็นจริง

[nooonuii]

$ x^{2}y^{2}z+x^{2}yz^{2}+xy^{2}z^{2}=\frac{1}{x}+ \frac{1}{y}+\frac{1}{z}$

ตรงนี้ควรเป็น $\geq$ นะครับ

แต่จาก Cauchy's และ Lemma จะทำให้ได้ว่า
$\frac{1}{x^{5}+y^{2}+z^{2}}+\frac{1}{x^{2}+y^{5}+z^{2}}+\frac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{5}}\geq \frac{9}{\left(x^{5}+y^{5}+z^{5}\right) +2\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) }\geq \frac{3}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$

เอา Lemma มาใช้ยังไงครับ เพราะผมยังไม่เห็นเทอมที่มี $x^3+y^3+z^3$ ในอสมการบรรทัดนี้เลย

$\dfrac{9}{\left(x^{5}+y^{5}+z^{5}\right) +2\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) }\geq \dfrac{3}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$

อสมการนี้สมมูลกับ $x^2+y^2+z^2\geq x^5+y^5+z^5$
ซึ่งไม่จริงครับเช่นให้ $x=1,y=2,z=3$

[Erken]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tatari/nightmare

39.Let x,y,zbe positive real numbers such that $xyz\geq 1$,Prove that $$\frac{x^5-x^2}{x^5+y^2+z^2}+\frac{y^5-y^2}{y^5+z^2+x^2}+\frac{z^5-z^2}{z^5+x^2+y^2}\geq 0$$

We establish that$ \frac{x^5-x^2}{x^5+y^2+z^2} \geq \frac{x^5-x^2}{x^3(x^2+y^2+z^2)}$
It follows immediately from the identity
$\frac{x^5-x^2}{x^5+y^2+z^2}-\frac{x^5-x^2}{x^3(x^2+y^2+z^2)}=\frac{(x^3-1)^2x^2(Y^2+z^2)}{x^3(x^2+y^2+z^2)(x^5+y^2+z^2)}$
Taking the cyclic sum and using $xyz \geq 1$ ,we have
$$\sum_{cyclic}\frac{x^5-x^2}{x^5+y^2+z^2}
\geq \frac{1}{x^5+y^2+z^2}\sum_{cyclic}(x^2-\frac{1}{x})
\geq \frac{1}{x^5+y^2+z^2}\sum_{cyclic}(x^2-yz) \geq 0$$

[Erken]

40.Let $a,b,c,m,n$ be positive real numbers. Prove that
$$\sum_{cyclic}\frac{a^2}{b(ma+nb)} \geq \frac{3}{m+n}$$
41.Prove that if $a,b,c > 0$ ,then $$\frac{1}{a^2+b^2+c^2} \leq \sum_{cyc}\frac{a}{a^3+(b+c)^3}$$

[gools]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Erken

We establish that$ \frac{x^5-x^2}{x^5+y^2+z^2} \geq \frac{x^5-x^2}{x^3(x^2+y^2+z^2)}$
It follows immediately from the identity
$\frac{x^5-x^2}{x^5+y^2+z^2}-\frac{x^5-x^2}{x^3(x^2+y^2+z^2)}=\frac{(x^3-1)^2x^2(Y^2+z^2)}{x^3(x^2+y^2+z^2)(x^5+y^2+z^2)}$
Taking the cyclic sum and using $xyz \geq 1$ ,we have
$$\sum_{cyclic}\frac{x^5-x^2}{x^5+y^2+z^2}
\geq \frac{1}{x^5+y^2+z^2}\sum_{cyclic}(x^2-\frac{1}{x})
\geq \frac{1}{x^5+y^2+z^2}\sum_{cyclic}(x^2-yz) \geq 0$$

น่าจะอ้างอิงด้วยนะครับว่ามาจากไหน

[Erken]

Iurie Boreico's solution

[nongtum]

อ้างอิงแค่นั้นไม่พอนะครับ อย่างน้อยบอกชื่อหนังสือหรือระบุลิงค์สักนิดก็จะดีกว่านี้ครับ

[Erken]

http://ultrametric.googlepages.com/tin

[dektep]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Erken

41.Prove that if $a,b,c > 0$ ,then $$\frac{1}{a^2+b^2+c^2} \leq \sum_{cyc}\frac{a}{a^3+(b+c)^3}$$

41. $\because (1+A^3)=(1+A)(1-A+A^2) \leq (\frac{(1+A)+(1-A+A^2)}{2})^2=(1+\frac{A^2}{2})^2$ และ $\frac{1}{2}(B+C)^2 \leq B^2+C^2$
$$\begin{eqnarray}
\therefore \frac{x^3}{x^3+(y+z)^3}&=&\frac{1}{1+(\frac{y+z}{x})^3} \\
&\geq &\frac{1}{(1+\frac{1}{2}(\frac{y+z}{x})^2)^2} \\
&=& \frac{1}{(1+\frac{1}{x^2}(\frac{1}{2}(y+z)^2))^2}\\
&\geq & (\frac{1}{1+\frac{1}{x^2}}(y^2+z^2))^2 \\
&=& \frac{x^4}{(x^2+y^2+z^2)^2}\\
\therefore \frac{x}{x^3+(y+z)^3} &\geq &\frac{x^2}{(x^2+y^2+z^2)^2}\\
\end{eqnarray}$$
$$\therefore \sum_{cyc}\frac{a}{a^3+(b+c)^3} \geq \sum_{cyc}\frac{a^2}{(a^2+b^2+c^2)^2}=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}$$

[dektep]

40.Cauchy; $$L.H.S. \geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{\sum_{cyc}a^2b(ma+nb)} \geq \frac{3}{m+n} \Longleftrightarrow (m+n)(a^2+b^2+c^2)^2 \geq 3(m\sum_{cyc}a^3b+n\sum_{cyc}a^2b^2)$$
ซึ่งเป็นจริงโดย $n(a^2+b^2+c^2)^2 \geq 3n \sum_{cyc}a^2b^2$
และ $n(a^2+b^2+c^2)^2 \geq 3n\sum_{cyc}a^3b....................(1)$
ซึ่ง (1) เป็นจริงโดย $$\frac{1}{2}\sum_{cyc}(a^2-2ab+bc-c^2+ca)^2 \geq 0$$

[Spotanus]

42.ให้ $a,b,c>0$ ที่ $a+b+c=1$ จงแสดงว่า
$\frac{1}{a+b^{2}+c^{3}} +\frac{1}{b+c^{2}+a^{3}}+\frac{1}{c+a^{2}+b^{3}}\leq 4+\sqrt{\frac{1}{a^{3}}+\frac{1}{b^{3}}+\frac{1}{c^{3}} }$

[tatari/nightmare]

43.ให้ $a,b,c,d\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \,\right]$ ที่สอดคล้องเงื่อนไข
$$\sin a+\sin b+\sin c+\sin d=1$$
$$\cos 2a+\cos 2b+\cos 2c+\cos 2d\geq\frac{10}{3}$$
จงพิสูจน์ว่า $a,b,c,d\in\left[0,\frac{\pi}{6}\,\right]$
44.สำหรับจำนวนนับ $n\geq 4$ และจำนวนจริง $a_{1},a_{2},...,a_{n}$ ที่สอดคล้อง
$$a_{1}+a_{2}+...+a_{n}\geq n$$ และ $$a_{1}^2+a_{2}^2+...+a_{n}^2\geq n^2$$
จงแสดงว่า $max\left\{a_{1},a_{2},...,a_{n}\,\right\}\geq 2$

[dektep]

43.(BMO198_) ให้ $sin a=x,sin b=y,sin c=z,sin d=w$
$\therefore cos 2a+cos 2b+cos 2c+cos 2d = 4-2x^2-2y^2-2z^2-2w^2 \leq \frac{10}{3}$
$\therefore x^2+y^2+z^2+w^2 \leq \frac{1}{3}$
และ้ $x+y+z+w = 1$
จะต้องพิสูจน์ว่า $x,y,z,w \in$ [$0,\frac{1}{2}$] ;Cauchy:$(x^2+y^2+z^2)(3) \geq (x+y+z)^2$
$\therefore (3)(\frac{1}{3}-w^2) \geq (1-w)^2 \rightarrow w$ $\in$[$0,\frac{1}{2}$]
ทำในทำนองเดียวกันจะได้ $x,y,z,w \in$ [$0,\frac{1}{2}$]

[dektep]

44.สมมติให้ $a_{i} < 2 \therefore n^2 \leq a_{1}^2+...a_{n}^2 <4n$
$\therefore n^2-4n <0 \therefore n \in (0,4)$ contradiction

[dektep]

45.If $a,b,c \in R^+$ prove that
$$\frac {a}{\sqrt {a^2 + 2bc}} + \frac {b}{\sqrt {b^2 + 2ca}} + \frac {c}{\sqrt {c^2 + 2ab}} \leq \frac {a + b + c}{\sqrt {ab + bc + ca}}$$