Inequality Marathon

[tatari/nightmare]

45.ก่อนอื่นเราจะแสดงว่า $\sum_{cyc}\frac{a}{a^2+2bc}\leq \frac{a+b+c}{ab+bc+ca}$
$\Longleftrightarrow 0\leq \sum_{cyc}\frac{a(ab+bc+ca-a^2-2bc)}{(a^2+2bc)(ab+bc+ca)}$ $\Longleftrightarrow 0\leq\sum_{cyc}\frac{a(a-b)(a-c)}{(a^2+2bc)(ab+bc+ca)}$
ซึ่งจากความจริงที่ว่า สำหรับทุก $a,b,c,x,y,z>0$ ได้ว่า $\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}\geq \frac{a+b+c}{x+y+z}$
$\therefore \sum_{cyc}\frac{a(a-b)(a-c)}{(a^2+2bc)(ab+bc+ca)}\geq\frac{a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b)}{(ab+bc+ca)(a+b+c)^2}\geq 0$ (เพราะว่าตัวส่วนของอสมการมากกว่า 0 อยู่แล้ว และตัวเศษก็มากกว่า 0 โดย Schur inequality)
โดยอสมการโคชีจะได้ว่า
$$\sum_{cyc}\frac{a}{\sqrt{a^2+2bc}}=\sum_{cyc}\sqrt{a}\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a^2+2bc}}\leq \sqrt{(a+b+c)(\sum_{cyc}\frac{a}{a^2+2bc})}\leq \sqrt{(a+b+c)\frac{a+b+c}{ab+bc+ca}}=\frac{a+b+c}{\sqrt{ab+bc+ca}}$$ #

[tatari/nightmare]

46.Let $a,b,c,d$ be real number such that $a^2+b^2+c^2+d^2=4$.Prove that
$$a^3+b^3+c^3+d^3\leq 8$$
47.Let $a,b,c\in\left[\frac{1}{3},3\,\right]$.Prove that
$$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq\frac{7}{5}$$

[dektep]

46.อสมการสมมูลกับ $(a^3+b^3+c^3+d^3)^{\frac{1}{3}} \leq (a^2+b^2+c^2+d^2)^{\frac{1}{2}}$ ซึ่งเป็นจริงโดย Jensen

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ dektep

44.สมมติให้ $a_{i} < 2 \therefore n^2 \leq a_{1}^2+...a_{n}^2 <4n$
$\therefore n^2-4n <0 \therefore n \in (0,4)$ contradiction

อย่าลืมว่า $a_i$ เป็นจำนวนจริงนะครับไม่ใช่จำนวนจริงบวก

[gools]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tatari/nightmare

จากความจริงที่ว่า สำหรับทุก $a,b,c,x,y,z>0$ ได้ว่า $\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}\geq \frac{a+b+c}{x+y+z}$
$\therefore \sum_{cyc}\frac{a(a-b)(a-c)}{(a^2+2bc)(ab+bc+ca)}\geq\frac{a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b)}{(ab+bc+ca)(a+b+c)^2}\geq 0$ (เพราะว่าตัวส่วนของอสมการมากกว่า 0 อยู่แล้ว และตัวเศษก็มากกว่า 0 โดย Schur inequality)

แต่ $a(a-b)(a-c),b(b-c)(b-a),c(c-a)(c-b)$ ไม่เป็นจำนวนจริงบวกทั้งหมดนะครับ

[dektep]

45.hint

ใช้ Cauchy แล้วใช้ Vornicu schur

[dektep]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

อย่าลืมว่า $a_i$ เป็นจำนวนจริงนะครับไม่ใช่จำนวนจริงบวก

ขอบคุณครับ ลืมดูว่า $a_i$ เป็นลบได้

[dektep]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tatari/nightmare

46.Let $a,b,c,d$ be real number such that $a^2+b^2+c^2+d^2=4$.Prove that
$$a^3+b^3+c^3+d^3\leq 8$$
47.Let $a,b,c\in\left[\frac{1}{3},3\,\right]$.Prove that
$$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq\frac{7}{5}$$

คุณ tatari/nightmare พอจะมี hint บ้างไหมครับ คือผมติดตรงที่จะเอา $a,b,c \in$ [$\frac{1}{3},3$] ไปใช้อย่างไร

[dektep]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tatari/nightmare

46.Let $a,b,c,d$ be real number such that $a^2+b^2+c^2+d^2=4$.Prove that
$$a^3+b^3+c^3+d^3\leq 8$$
47.Let $a,b,c\in\left[\frac{1}{3},3\,\right]$.Prove that
$$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq\frac{7}{5}$$

โดย S.M.V. theorem(Stronger mixing variables method)
ให้ $$E(a,b,c)=\sum_{cyc}\frac{a}{a+b}$$,
WLOG; $a=max(a,b,c)$
$E(a,b,c)-E(a,b,\sqrt{ab})=\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\left(\sqrt{ab}-c\right)^2}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(a+c)(b+c)}\ge 0$
$\therefore E(a,b,\sqrt{ab})-\frac{7}{5}=\frac{(3-x)((1-x)^2+x^2)}{5(x+1)(x^2+1)}\ge 0$
ก็ต่อเมืี่อ $0<x\le 3 $ซึ่งเป็นจริงเสมอเพราะว่า $x=\sqrt{\frac{a}{b}}$
โดยอสมการเป็นสมการเมื่อ $(a,b,c)=(3,\frac{1}{3},1)$ และการเรียงสลัยเปลี่ยน

[M@gpie]

มาเพิ่มให้ครับหวังว่าไม่ซ้ำ ถูกใจคออสมการ
ให้ $a,b,c>0$จงพิสูจน์ว่า
\[ \sum_{\text{cyc}}\left( \frac{a}{a+2b}\right)^2 = \left( \frac{a}{a+2b}\right)^2 +\left( \frac{b}{b+2c}\right)^2 + \left( \frac{c}{c+2a}\right)^2 \geq \frac{1}{3}\]

[t.B.]

อะไรคือ $\sum_{cyc} $ หรอครับ บ้านนอกไม่รู้จัก

[nooonuii]

เป็นสัญลักษณ์ที่ใช้แทนผลบวกที่ตัวแปรมีลักษณะวนซ้ำ(cyclic sum)น่ะครับ ปกติเวลาเราพิสูจน์อสมการเราจะยุ่งกับผลบวกลักษณะนี้ค่อนข้างเยอะ
ก็เลยคิดสัญลักษณ์ขึ้นมาเพื่อทำให้เวลาคิดหรือเขียนบทพิสูจน์สั้นและกระชับขึ้น
แต่เวลาเขียนควรบอกจำนวนตัวแปรด้วยนะครับ ตัวอย่างสำหรับ 3 ตัวแปรเช่น

$$\sum_{cyc}\frac{a}{b+c}=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$$

$$\sum_{cyc}\frac{a}{a+b}=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}$$

[t.B.]

บอกไว้ตรงไหนหรอครับจำนวนตัวแปร และก็ของคุณ M@gpie ดูยังไงว่ามีกี่ตัวแปร

[nooonuii]

จำนวนตัวแปรมักจะเขียนมาในโจทย์ครับ ก็เลยมีการละไว้ไม่เขียนในสัญลักษณ์ โจทย์ที่ดีไม่ควรเขียนโดยใช้สัญลักษณ์นี้ครับ เพราะทำให้กำกวมในเรื่องของจำนวนตัวแปร แต่ถ้าตอนเขียนพิสูจน์เราละได้เพราะเป็นที่รู้กันว่ามีกี่ตัวแปรครับ

[t.B.]

ที่ว่าเป็นที่รู้กันนี่มันกี่ตัวแปรอะครับดูไม่เป็น +ถ้าไม่เป็นการรบกวนเกินไปขอถามเพิ่มอีกนิดนะครับ ตะกี้ได้อ่านบทความที่คุณ top เขียนเรื่อง newton's relation เห็นฟังก์ชั่นที่เขียนแบบ $f(S_k,P_n)$ อะไรพวกนี้นี่มันหมายความว่าอะไรมีเรียนระดับไหนหรอครับ รู้จักแต่ $f(S_k)\times f(P_n)$ อะไรพวกนี้