โจทย์พีชคณิตง่าย ๆ ครับ

[alongkorn]

โจทย์พีชคณิตง่าย ๆ ครับ
จงแสดงว่า (2 + 2^1/3)^1/3 + (2 - 2^1/3)^1/3 > 2 ด 2^1/3

[M@gpie]

คุณ alongkorn นำโจทย์สนุกๆมาฝากเช่นเคยนะครับ
ก่อนอื่น จากการขี้โกงใช้เครื่องคิดเลขจิ้มมา ครับ พบว่า อสมการของคุณ alongkorn ต้องกลับด้านรึเปล่าครับ แหะๆ
พิจารณาอสมการ
\( (2 + 2^{\frac{1}{3}})^{\frac{1}{3}} + (2 - 2^{\frac{1}{3}})^{\frac{1}{3}} < 2 \cdot 2^{\frac{1}{3}} \)
ซึ่งสามารถแสดงได้โดยใช้อสมการนี้เข้าช่วย \( (1+x)^n < 1+nx \)
นั่นคือ จาก \( (2 + 2^{\frac{1}{3}})^{\frac{1}{3}} + (2 - 2^{\frac{1}{3}})^{\frac{1}{3}}
= 2^{\frac{1}{3}} ( 1 + 2^{ - \frac{2}{3}})^{\frac{1}{3}} + 2^{\frac{1}{3}} ( 1 - 2^{ - \frac{2}{3}})^{\frac{1}{3}}
< 2^{\frac{1}{3}} ( 1 + \frac{1}{3} 2^{ - \frac{2}{3}}) + 2^{\frac{1}{3}} ( 1 - \frac{1}{3} 2^{ - \frac{2}{3}}) = 2 \cdot 2^{\frac{1}{3}}\)
ตามต้องการคร้าบบบ

[nooonuii]

ขอทำแบบไม่ง่ายบ้างนะครับ

ให้ $a=\sqrt[3]{2+2^{1/3}} , b = \sqrt[3]{2 - 2^{1/3} } , c = -2\sqrt[3]{2}$
จะได้ว่า $c< b < a$
พิจารณาเอกลักษณ์
$$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$$
เนื่องจาก $$a^2+b^2+c^2 -ab-bc-ca = \frac{1}{2}[(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2] > 0$$
และ $$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 3\sqrt[3]{64 -16\cdot \sqrt[3]{2} } - 12 < 0$$
เราจึงได้ว่า $a + b + c < 0$

[alongkorn]

แหะ ๆ ๆ เขียนเครื่องหมายอสมการกลับด้านจริง ๆ ด้วยครับ
แต่ก็สุดยอดจริง ๆ ครับ ฝีมือแต่ละคนนี่ ข้าน้อยขอคารวะครับ

คืออย่างนี้ครับ จะบอกที่มาของโจทย์ข้อนี้ครับ รศ.ดร.สมใจ จิตพิทักษ์ ได้เอาโจทย์นี้มาถามผม ซึ่งท่านได้รับมาจาก Prof. Dr. John A. Dossey แห่ง Illinois State University อีกที อ้าว! แล้ว Prof. Dr. Dossey คือใคร? ท่านเป็นนักคณิตศาสตรศึกษา (Mathematics Education) ที่เป็นที่ยอมรับของวงการคณิศาสตร์ในระดับนานาชาติ ท่านเป็นคนหนึ่งที่ร่วมร่างนโยบายการศึกษาให้กับรัฐบาลของ Clinton และ Bush J. ท่านบอกว่าอย่างน้อยมีการพิสูจน์โจทย์ข้อนี้แล้ว 6 วิธี ท่านอยากได้วิธีที่แตกต่างจาก 6 วิธีนั้น ผมต้องขอโทษจริง ๆ ครับที่ไม่สามารถบอกได้ว่าวิธีของทั้ง 2 ท่าน ซ้ำกับ 6 วิธีดังกล่าวหรือไม่