Hard Inequalities from Mathlinks Contest

[gools]

ให้ \( ab+bc+ca=1 \) จงพิสูจน์ว่า
\[\frac{1+a^2b^2}{(a+b)^2}+\frac{1+b^2c^2}{(b+c)^2}+\frac{1+c^2a^2}{(c+a)^2} \geq \frac{5}{2}\]

[Punk]

ยากจริงๆข้อนี้

แยกเป็นสองกรณี คือ \( a+b,b+c,c+a\,\, \) ทุกตัวมากกว่าหรือเท่ากับหนึ่ง และอีกกรณีคือ มี \( a+b\leq1 \)

กรณีแรก ให้ \( x=b+c,y=c+a,z=a+b\,\, \) จะได้ว่า
\[
\frac{1+a^2b^2}{(a+b)^2}=-\frac{1}{2}-\frac{(x-y)^2}{2z^2}+xy\geq-\frac{1}{2}-\frac{(x-y)^2}{2}+xy=\frac{1}{2}-\frac{(b-a)^2}{2}+c^2
\]
เมื่อบวกกันทั้งหมด จะได้
\[
\sum_{cyc}\frac{1+a^2b^2}{(a+b)^2}\geq\frac{3}{2}+\sum_{cyc}c^2-\frac{(b-a)^2}{2}=\frac{5}{2}
\]

กรณี มี \( a+b\leq1\,\, \) กรณีนี้ยากกว่ากรณีแรก ขอไม่โพสละกันเดี๋ยวจะยาวเกิน