inequality

[Wings_Evolution]

Let a and b be real numbers such that a > b > 0 . Determine the least possible value of
$$a+\frac{1}{b(a-b)}$$

[หยินหยาง]

hint AM.-GM.

[กิตติ]

ทำแบบนี้หรือเปล่าครับ

$a+\frac{1}{b(a-b)} =\frac{ab(a-b)+1}{b(a-b)} =\frac{a^2}{a-b} +\frac{ab}{b-a} +\frac{1}{b(a-b)} $

$a+\frac{1}{b(a-b)} \geqslant \sqrt[3]{(\frac{a^2}{a-b} )(\frac{ab}{b-a})(\frac{1}{b(a-b)})} $

$\geqslant \sqrt[3]{-\frac{a^3}{(a-b)^3} } $

$\geqslant -\frac{a}{a-b} $

$\geqslant \frac{a}{b-a} $

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

ทำแบบนี้หรือเปล่าครับ

$a+\frac{1}{b(a-b)} =\frac{ab(a-b)+1}{b(a-b)} =\frac{a^2}{a-b} +\frac{ab}{b-a} +\frac{1}{b(a-b)} $

$a+\frac{1}{b(a-b)} \geqslant \sqrt[3]{(\frac{a^2}{a-b} )(\frac{ab}{b-a})(\frac{1}{b(a-b)})} $

$\geqslant \sqrt[3]{-\frac{a^3}{(a-b)^3} } $

$\geqslant -\frac{a}{a-b} $

$\geqslant \frac{a}{b-a} $

ตรง $\frac{ab}{b-a}$ จะมีค่าเป็นลบ เพราะโจทย์กำหนดให้ a>b ดังนั้นจะมีปัญหาตอนใช้ AM-GM ข้อนี้ถ้าทำถูกวิธีจะได้คำตอบ 3

[กิตติ]

ขอบคุณครับซือแป๋ เมื่อกี้ก็แอบดูพจน์ที่เป็นปัญหาแล้วมองดูโจทย์แล้วคิดว่าพจน์นี้เป็นลบ ก็รอให้ซือแป๋มาช่วยชี้ทางให้
เดี๋ยวเก็บโจทย์ไปคิดก่อน คืนนี้ทำงานเลยแว๊บไปแว๊บมา

[กิตติ]

นั่งคิดออกเมื่อกี้นี้เอง....ทำไมมันแค่ใช้ทริคนิดเดียวเอง

$a+\dfrac{1}{b(a-b)} = (a-b)+b+\dfrac{1}{b(a-b)}$

แล้วก็ใช้ $AM-GM$

$\dfrac{(a-b)+b+\dfrac{1}{b(a-b)}}{3} \geqslant \sqrt[3]{(a-b)(b)(\dfrac{1}{b(a-b)})} $

$\dfrac{(a-b)+b+\dfrac{1}{b(a-b)}}{3} \geqslant 1$

$(a-b)+b+\dfrac{1}{b(a-b)} \geqslant 3$

$a+\dfrac{1}{b(a-b)} \geqslant 3$

[Wings_Evolution]

Let a,b,c be positive real numbers such that $abc = 1$ Prove that
$$\sqrt{\frac{a+b}{a+1} } +\sqrt{\frac{b+c}{b+1} } +\sqrt{\frac{c+a}{c+1} } \geqslant 3$$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Wings_Evolution

Let a,b,c be positive real numbers such that $abc = 1$ Prove that
$$\sqrt{\frac{a+b}{a+1} } +\sqrt{\frac{b+c}{b+1} } +\sqrt{\frac{c+a}{c+1} } \geqslant 3$$

ใช้ AM-GM แล้วพิสูจน์ว่า

$(a+b)(b+c)(c+a)\geq (a+1)(b+1)(c+1)$

$(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc\geq 1+a+b+c+ab+bc+ca+abc$

$(a+b+c)(ab+bc+ca)\geq a+b+c+ab+bc+ca+3$

$(a+b+c-1)(ab+bc+ca-1)\geq 4$

ซึ่งเป็นจริงเนื่องจาก $a+b+c\geq 3, ab+bc+ca\geq 3$ โดย AM-GM

[Wings_Evolution]

Let a,b,c is real number such that
$a+b+c+d+e = 8 , a^2+b^2+c^2+d^2+e^2 = 16$
find the maximum value of $e$ (not cauchy-schwarz)

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Wings_Evolution

Let a,b,c is real number such that
$a+b+c+d+e = 8 , a^2+b^2+c^2+d^2+e^2 = 16$
find the maximum value of $e$ (not cauchy-schwarz)

สังเกตว่า $a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=2(a+b+c+d+e)$

ดังนั้น

$e^2-2e=2(a+b+c+d)-(a^2+b^2+c^2+d^2)$

$~~~~~~~~~=\dfrac{144}{25}-\dfrac{2}{5}(a+b+c+d)-\Big(a-\dfrac{6}{5}\Big)^2-\Big(b-\dfrac{6}{5}\Big)^2-\Big(c-\dfrac{6}{5}\Big)^2-\Big(d-\dfrac{6}{5}\Big)^2$

$~~~~~~~~~\leq \dfrac{144}{25}-\dfrac{2}{5}(8-e)$

จัดรูปอสมการได้เป็น

$25e^2-60e-64\leq 0$

$(5e-16)(5e+4)\leq 0$

$e\leq \dfrac{16}{5}$

[Wings_Evolution]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

สังเกตว่า $a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=2(a+b+c+d+e)$

ดังนั้น

$e^2-2e=2(a+b+c+d)-(a^2+b^2+c^2+d^2)$

$~~~~~~~~~=\dfrac{144}{25}-\dfrac{2}{5}(a+b+c+d)-\Big(a-\dfrac{6}{5}\Big)^2-\Big(b-\dfrac{6}{5}\Big)^2-\Big(c-\dfrac{6}{5}\Big)^2-\Big(d-\dfrac{6}{5}\Big)^2$

$~~~~~~~~~\leq \dfrac{144}{25}-\dfrac{2}{5}(8-e)$

จัดรูปอสมการได้เป็น

$25e^2-60e-64\leq 0$

$(5e-16)(5e+4)\leq 0$

$e\leq \dfrac{16}{5}$

nice !! ทำยังไงถึงมองออกแบบพี่อะครับ
$0<a,b,c < 1 , a+b+c = 2$
$$\frac{abc}{(1-a)(1-b)(1-c)} \geqslant 8$$

[nooonuii]

ต้องเดาก่อนว่าสมการเกิดขึ้นเมื่อไร

ในที่นี้ $e$ จะขึ้นกับ $a,b,c,d$

ซึ่งเงื่อนไขมีสมมาตร จึงเดาว่า

สมการเกิดขึ้นเมื่อ $a=b=c=d$

เราจึงได้ระบบสมการ

$4a+e=8$

$4a^2+e^2=16$

แก้ระบบสมการจะได้ออกมาสองชุดคือ $(a,e)=(\frac{6}{5},\frac{16}{5}),(2,0)$

ดังนั้นชุดที่ให้ค่ามากสุดของ $e$ คือ $(\frac{6}{5},\frac{16}{5})$

อีกชุดนึงสามารถนำไปหาค่าต่ำสุดของ $e$ ได้ด้วยครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Wings_Evolution

$0<a,b,c < 1 , a+b+c = 2$
$$\frac{abc}{(1-a)(1-b)(1-c)} \geqslant 8$$

เปลี่ยนตัวแปรไปหาอสมการที่เคยรู้จัก

ให้ $x=1-a,y=1-b,z=1-c$

อสมการจะเปลี่ยนเป็น

$(x+y)(y+z)(z+x)\geq 8xyz$

ซึ่งพิสูจน์ได้หลายวิธี

[kongp]

พอเรียนปี 4 จะมีวิชาชื่อการวิเคราะห์เชิงจริง จะบอกถึงวิธีการทดสอบ และวิธีหาวิธีที่ถูกต้องที่สุด จากนิยามของลิมิต และมีผู้ขยายแนวความคิด(ไม่ใช่มั่ว หรือ Drift ) ไปสู่วิชา Topology และ Noncommutative Algebra