inequality

[Influenza_Mathematics]

$a,b,c>0$
$$\frac{b+c}{a^2} +\frac{c+a}{b^2}+\frac{a+b}{c^2} \geq 2\Big(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\Big)$$

use only cauchy and am-gm

[LightLucifer]

By Power mean
$\frac{\sum_{cyc}^{} (\frac{1}{a^2})}{3} \geqslant \frac{(\sum_{cyc}^{} (\frac{1}{a}))^2}{9}$
By AM-GM
$ (\frac{a+b+c}{3} )(\frac{\sum_{cyc}^{} (\frac{1}{a})}{3})\geqslant \frac{\sqrt[3]{abc} }{\sqrt[3]{abc}}=1$

So
$(a+b+c)\frac{\sum_{cyc}^{} (\frac{1}{a^2})}{3} \geqslant (a+b+c)\frac{(\sum_{cyc}^{} (\frac{1}{a}))^2}{9}\geqslant (1)(\sum_{cyc}^{} (\frac{1}{a}))$
$(a+b+c)\frac{\sum_{cyc}^{} (\frac{1}{a^2})}{3}\geqslant \sum_{cyc}^{} (\frac{1}{a})\Leftrightarrow \sum_{cyc}^{} (\frac{b+c}{a^2})\geqslant 2\sum_{cyc}^{} (\frac{1}{a})$

[Influenza_Mathematics]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

By Power mean
$\frac{\sum_{cyc}^{} (\frac{1}{a^2})}{3} \geqslant \frac{(\sum_{cyc}^{} (\frac{1}{a}))^2}{9}$
By AM-GM
$ (\frac{a+b+c}{3} )(\frac{\sum_{cyc}^{} (\frac{1}{a})}{3})\geqslant \frac{\sqrt[3]{abc} }{\sqrt[3]{abc}}=1$

So
$(a+b+c)\frac{\sum_{cyc}^{} (\frac{1}{a^2})}{3} \geqslant (a+b+c)\frac{(\sum_{cyc}^{} (\frac{1}{a}))^2}{9}\geqslant (1)(\sum_{cyc}^{} (\frac{1}{a}))$
$(a+b+c)\frac{\sum_{cyc}^{} (\frac{1}{a^2})}{3}\geqslant \sum_{cyc}^{} (\frac{1}{a})\Leftrightarrow \sum_{cyc}^{} (\frac{b+c}{a^2})\geqslant 2\sum_{cyc}^{} (\frac{1}{a})$

only cauchy and am-gm

[LightLucifer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Influenza_Mathematics

only cauchy and am-gm

Well, from the fact

$\sum_{cyc}^{}(\frac{1}{a}-\frac{1}{b})^2 \geqslant 0$
$\Leftrightarrow \sum_{cyc}^{}\frac{1}{a^2}\geqslant \sum_{cyc}^{}\frac{1}{ab}$
$\Leftrightarrow \sum_{cyc}^{}\frac{3}{a^2} \geqslant \sum_{cyc}^{}\frac{1}{a^2}+2\sum_{cyc}^{}\frac{1}{ab}$
$\Leftrightarrow \sum_{cyc}^{}\frac{3}{a^2}\geqslant (\sum_{cyc}^{}\frac{1}{a})^2$
$\Leftrightarrow \frac{\sum_{cyc}^{}\frac{1}{a^2}}{3}\geqslant \frac{(\sum_{cyc}^{}\frac{1}{a})^2}{9}$

then do the same thing as #2

[Influenza_Mathematics]

Thanks.
( Cezar Lupu ) $( 1 = (a+b)(b+c)(c+a) , a,b,c > 0)$

$$ab+bc+ca \geqslant \frac{3}{4}$$

[Amankris]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Influenza_Mathematics

Thanks.
( Cezar Lupu ) $( 1 = (a+b)(b+c)(c+a) , a,b,c > 0)$

$$ab+bc+ca \geqslant \frac{3}{4}$$

คาดว่าไม่จริง
พิจารณาจากชุดตัวอย่าง
$(a,b,c)=(\frac{15}{8},\frac{1}{8},\frac{1}{8})$

[Influenza_Mathematics]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Amankris

คาดว่าไม่จริง
พิจารณาจากชุดตัวอย่าง
$(a,b,c)=(\frac{15}{8},\frac{1}{8},\frac{1}{8})$

้ถ้าจะเปลี่ยนต้องเปลี่ยนเป็นอะไรหรอครับ

[Amankris]

$a,b,c\in \mathbf{R}^+$
$(a+b)(b+c)(c+a)=1$
Prove that $ab+bc+ca\leqslant \frac{3}{4}$

Solution

$a+b+c=\frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{2}+\frac{c+a}{2}\geqslant 3\sqrt[3]{\frac{a+b}{2}\frac{b+c}{2}\frac{c+a}{2}}=\frac{3}{2}$
$\frac{1}{8}=(\frac{a+b}{2})(\frac{b+c}{2})(\frac{c+a}{2})\geqslant \sqrt{ab}\cdot \sqrt{bc}\cdot \sqrt{ca}=abc$
$ab+bc+ca=\frac{(a+b)(b+c)(c+a)+abc}{a+b+c}=\frac{1+abc}{a+b+c}\leqslant \frac{1+\frac{1}{8}}{\frac{3}{2}}=\frac{3}{4}$