อสมการโคไซน์

[sompong2479]

โจทย์เอามาจากหนังสือคับ

ให้ $a_1,\cdots,a_n$ เป็นจำนวนจริง จงแสดงว่า
$$
\sum_i\sum_jij\cos(a_i-a_j)\geq0
$$

[gon]

สัญลักษณ์ที่ห้อย i กับ j นี่หมายความว่าอย่างไรครับ. หมายถึงว่าเริ่มที่ 1 เสมอหรือเปล่า?

สมมติว่าถ้าใช่ ถ้าลองคำนวณ $\sum_{i=1}^1\sum_{j=1}^2 i \cdot j \cos(a_i-a_j)$ โดยที่ $a_1 = \pi, a_2 = 0$
ก็จะได้ว่า
$L.H.S = 1 \cdot 1 \cos (a_1 - a_1) + 1 \cdot 2 \cos (a_1 - a_2) = 1 - 2 < 0$

[sompong2479]

ขออภัยครับลืมใส่ช่วงการ sum ลอกมาหนังสือทั้งดุ้นเลยครับ
คิดว่าโจทย์คงหมายถึง sum ตั้งแต่ 1 จนถึง $n$ ทั้ง $i$ และ $j$ ครับ
ขอบคุณคุณ gon มากๆครับ

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ sompong2479:
โจทย์เอามาจากหนังสือคับ

ให้ $a_1,\cdots,a_n$ เป็นจำนวนจริง จงแสดงว่า
$$
\sum_i\sum_jij\cos(a_i-a_j)\geq0
$$

จาก $$ij\cos(a_i-a_j)=(i\cos a_i)(j\cos a_j)+(i\sin a_i)(j\sin a_j)$$
ดังนั้น
$$\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n ij\cos(a_i-a_j)$$
$$= \left(\sum_{i=1}^n i\cos a_i\right) \left(\sum_{j=1}^n j\cos a_j\right) + \left(\sum_{i=1}^n i\sin a_i\right) \left(\sum_{j=1}^n j\sin a_j\right)$$
$$= \left(\sum_{i=1}^n i\cos a_i\right)^2 + \left(\sum_{i=1}^n i\sin a_i\right)^2 \ge0$$
คร้าบ

[sompong2479]

ว้าวง่ายอะไรจะปานนั้น

ผากอีกสองข้อละกันครับ

2. ถ้า $a+b+c+d+e+f=0$ และ $a^3+b^3+c^3+d^3+e^3+f^3=0$ แล้ว
$$
(a+c)(a+d)(a+e)(a+f)=(b+c)(b+d)(b+e)(b+f)
$$

3. จงแสดงว่าทุกจำนวนเต็มบวก $m,n$
$$
\frac{1}{\sqrt[m]{n}}+\frac{1}{\sqrt[n]{m}}>1
$$

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ sompong2479:
2. ถ้า $a+b+c+d+e+f=0$ และ $a^3+b^3+c^3+d^3+e^3+f^3=0$ แล้ว
$$(a+c)(a+d)(a+e)(a+f)=(b+c)(b+d)(b+e)(b+f)$$

วิธีทำข้อนี้ของผมถ้าแสดงอย่างละเอียดจะยาวมากครับ มันค่อนข้างจุกจิก ต้องแยกหลายกรณี แต่หลักสำคัญอยู่แค่ที่การใช้เอกลักษณ์ต่อไปนี้
$$(x+y+z)^3-(x^3+y^3+z^3)= 3(x+y)(x+z)(y+z)$$
ดังนั้นผมขอแสดงขั้นตอนการพิสูจน์แบบคร่าวๆเท่านั้นครับ

1. เริ่มจากการพิสูจน์ว่า ถ้ามีผลบวกคู่ใดเป็น 0 เช่น $a+b=0$ แล้วอีก 4 ตัวที่เหลือจะต้องสามารถจับคู่กันแล้วมีผลบวกเป็น 0 ด้วย เช่นเราอาจได้ $c+f=0$ และ $d+e=0$

2. พิสูจน์ว่าถ้าเกิดกรณีในข้อ 1. ขึ้น แล้วข้อความที่เราต้องการพิสูจน์จะเป็นจริง ซึ่งตรงนี้เราต้องแยกพิจารณาเป็น 2 กรณีคือ $a+b=0$ กับ $a+b\ne0$

3. จัดการกับกรณีที่เหลือ ซึ่งก็คือไม่มีคู่ใดที่มีผลบวกเป็น 0 อยู่เลย โดยทำดังนี้ครับ

จาก $a+c+d= -(b+e+f)$
และ $a^3+c^3+d^3= -(b^3+e^3+f^3)$
ยกกำลังสามสมการแรก แล้วลบด้วยสมการที่สอง จากนั้นใช้เอกลักษณ์ข้างบน เราจะได้ว่า
$$(a+c)(a+d)(c+d)= -(b+e)(b+f)(e+f)$$

ทำนองเดียวกันจาก $a+c+e= -(b+d+f)$
และ $a^3+c^3+e^3= -(b^3+d^3+f^3)$
จะได้
$$(a+c)(a+e)(c+e)= -(b+d)(b+f)(d+f)$$

ทำเช่นนี้กับทุกกรณีที่ $a$ และ $b$ อยู่กันคนละฝั่งของสมการ แล้วนำผลที่ได้ทั้งหมดมาคูณกัน หลังจาก simplify แล้วเราจะได้ผลลัพธ์ที่ต้องการครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมของคุณ sompong2479:

3. จงแสดงว่าทุกจำนวนเต็มบวก $m,n$
$$
\frac{1}{\sqrt[m]{n}}+\frac{1}{\sqrt[n]{m}}>1
$$

This inequality holds for all $a,b > 0$, i.e.,

$a^b+b^a > 1$ for all $a,b > 0$.

It is trivial if $a\geq 1$ or $b\geq 1$, so assume that $a,b \in (0,1)$.
By Weighted AM-GM Inequality, we have

\( \displaystyle{ (\frac{1}{a})^b = (\frac{1}{a})^b \cdot 1^{1-b} < \frac{b}{a} + 1 - b = \frac{a+b-ab}{a} } \)

and

\( \displaystyle{ (\frac{1}{b})^a = (\frac{1}{b})^a \cdot 1^{1-a} < \frac{a}{b} + 1 - a = \frac{a+b-ab}{b}. } \)

Thus \( \displaystyle{ a^b + b^a > \frac{a}{a+b-ab} + \frac{b}{a+b-ab} = \frac{a+b}{a+b-ab} = 1 + \frac{ab}{a+b-ab} > 1. \ } \)

[sompong2479]

ขอบคุณมากครับคุณ warut และคุณ nooonuii

วิธีของคุณ nooonuii เจ๋งจิงๆคับ มองทะลุจิงๆ

ถามต่อนะครับ

4. จงแสดงว่าถ้ารูปหลายเหลี่ยมนูน (convex polygon) มีสมบัติว่า มีมุมสี่มุมที่เท่ากับ 90 องศา แล้ว
รูปดังกล่าวต้องเป็น(ไอ้หน้า)สี่เหลี่ยมมุมฉากเท่านั้น

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ sompong2479:
4. จงแสดงว่าถ้ารูปหลายเหลี่ยมนูน (convex polygon) มีสมบัติว่า มีมุมสี่มุมที่เท่ากับ 90 องศา แล้วรูปดังกล่าวต้องเป็นสี่เหลี่ยมมุมฉากเท่านั้น

ข้อความข้างต้นไม่เป็นจริง ถ้าเรายอมให้รูปหลายเหลี่ยมนั้นมีมุมบางมุมกาง $180^\circ$
ดังนั้นเราจะพิจารณาเฉพาะกรณีที่ไม่มีมุมใดที่กาง $180^\circ$ อยู่
ในการพิสูจน์ของผมจะใช้ความจริงที่ว่า convex polygon ไม่มีมุมที่กางมากกว่า $180^\circ$ อยู่ครับ

ถ้า convex polygon มีด้าน $n>4$ ด้านและมีมุม $4$ มุมกาง $90^\circ$ ส่วนมุมที่เหลือแต่ละมุมกางน้อยกว่า $180^\circ$ เราจะได้ว่า มุมภายในรวมของรูปหลายเหลี่ยมนี้ มีค่าน้อยกว่า $180(n-4)+ 4\cdot 90 = 180n-360$ องศา แต่เรารู้ว่ารูป $n$ เหลี่ยมใดๆมีมุมภายในรวมเท่ากับ $180n-360$ องศา จึงเกิดข้อขัดแย้งขึ้นครับ

ป.ล. คุณ sompong2479 มีเฉลยของโจทย์แต่ละข้อที่เอามาถามหรือเปล่าครับ

[sompong2479]

ขอบคุณคร้าบบบบบ ผมว่าเฉลยของคุณ warut กับคุณ nooonuii สวยมากแล้วละครับ
คงไม่ต้องดูเฉลยของหนังสือหรอกมั้งครับ แต่ถ้าสนใจดูได้จากหนังสือ
500 mathematical challenges, MAA
ของ E. Barbeau, M. Klamkin, W. Moser

PS ชอบข้อสุดท้ายจัง แต่คำตอบเลวจริงๆ เป็นไปได้แค่ไอ้หน้าเหลี่ยม

[Punk]

ขอเสนออีกวิธีสำหรับข้อ 3 ครับ WLOG: $m,n>1$
ให้ $x=\sqrt[m]{n}$ จะได้ว่า $x^m-1=(x-1)(x^{m-1}+\cdots+x+1)>m(x-1)$ (เนื่องจาก $x>1$)
ดังนั้น $x-1<(n-1)/m$ ทำนองเดียวกัน ให้ $y=\sqrt[n]{m}$ จะได้ว่า $y-1<(m-1)/n$
เพราะฉะนั้น
\[
(x-1)(y-1)<1\Longrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}>1
\]
DONE

[warut]

วิธีพิสูจน์ข้อ 3. ของคุณ Punk ง่ายและสวยมากๆครับ