Inequality

[BLACK-Dragon]

1.ให้ a,b,c ไม่เป็นจำนวนจริงลบ ซึ่ง $a+b+c=3$ จงพิสูจน์ว่า

$$a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\geqslant 6$$


2.ให้ $a\geqslant c\geqslant 0$ และ $b\geqslant d\geqslant 0$ จงพิสูจน์ว่า

$$(a+b+c+d)^2\geqslant 8(ad+bc)$$


3.ให้ $x,y,z$ เป็นจำนวนจริงบวก จงพิสูจน์ว่า

$$\frac{x^3+y^3+z^3}{3xyz}+\frac{3\sqrt[3]{xyz}}{x+y+z}\geqslant 2$$

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ BLACK-Dragon

1.ให้ a,b,c ไม่เป็นจำนวนจริงลบ ซึ่ง $a+b+c=3$ จงพิสูจน์ว่า

$$a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\geqslant 6$$


2.ให้ $a\geqslant c\geqslant 0$ และ $b\geqslant d\geqslant 0$ จงพิสูจน์ว่า

$$(a+b+c+d)^2\geqslant 8(ad+bc)$$


3.ให้ $x,y,z$ เป็นจำนวนจริงบวก จงพิสูจน์ว่า

$$\frac{x^3+y^3+z^3}{3xyz}+\frac{3\sqrt[3]{xyz}}{x+y+z}\geqslant 2$$

ข้อเเรก จาก$Cauchy's$ จะได้ว่า $a^2+b^2+c^2\geqslant ab+ac+bc$ $\Rightarrow$ $a^2+b^2+c^2+ab+ac+bc \geqslant 2(ab+ac+bc)$
เเต่ จาก $Chebysheb's$ ได้ว่า $3(a(b)+c(a)+b(c)) \geqslant (a+b+c)^2$ $\Rightarrow$ $ab+bc+ac \geqslant 3$
ข้อ 2(วิธีใหม่) จาก $ AM.-GM. Inequality$ จะได้ว่า $(a+c)+(b+d) \geqslant 2\sqrt{(a+c)(b+d)}$
$(a+c)(b+d)=ab+ad+bc+cd$ เเละจาก $(a-c)(b-d) \geqslant 0$ จะได้ว่า $ab+ad+bc+cd \geqslant 2(ad+bc)$ ท่าทางจะน่าเข้าใจมากกว่า

[BLACK-Dragon]

ข้อ.3 ไม่รู้ว่าทำแบบนี้ได้หรือเปล่านะครับช่วยๆดูให้หน่อย

$x+y+z\geqslant\sqrt[3]{xyz}$

$\frac{x^3+y^3+z^3}{3xyz}+\frac{x+y+z}{x+y+z}\geqslant 2$

$x^3+y^3+z^3\geqslant 3xyz$ (A.M.-G.M.)

[Influenza_Mathematics]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

ข้อเเรก จาก$Cauchy's$ จะได้ว่า $a^2+b^2+c^2\geqslant ab+ac+bc$ $\Rightarrow$ $a^2+b^2+c^2+ab+ac+bc \geqslant 2(ab+ac+bc)$
เเต่ จาก $Chebysheb's$ ได้ว่า $3(a(b)+c(a)+b(c)) \geqslant (a+b+c)^2$ $\Rightarrow$ $ab+bc+ac \geqslant 3$
ข้อ 2(วิธีใหม่) จาก $ AM.-GM. Inequality$ จะได้ว่า $(a+c)+(b+d) \geqslant 2\sqrt{(a+c)(b+d)}$
$(a+c)(b+d)=ab+ad+bc+cd$ เเละจาก $(a-c)(b-d) \geqslant 0$ จะได้ว่า $ab+ad+bc+cd \geqslant 2(ad+bc)$ ท่าทางจะน่าเข้าใจมากกว่า

ผมว่าทั้ง 3 ข้อใช้เทคนิคนิดหน่อย , Am-Gm กับ Cauchy Schwarz ก็ได้แล้วนะครับ

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ BLACK-Dragon

ข้อ.3 ไม่รู้ว่าทำแบบนี้ได้หรือเปล่านะครับช่วยๆดูให้หน่อย

$x+y+z\geqslant\sqrt[3]{xyz}$

$\frac{x^3+y^3+z^3}{3xyz}+\frac{x+y+z}{x+y+z}\geqslant 2$

$x^3+y^3+z^3\geqslant 3xyz$ (A.M.-G.M.)

คือเรารู้เเค่ว่า $\frac{x^3+y^3+z^3}{3xyz}+\frac{x+y+z}{x+y+z}\geqslant 2$
เเล้วก็ $\frac{x^3+y^3+z^3}{3xyz}$ $+\frac{x+y+z}{x+y+z}$ $\geqslant$ $\frac{x^3+y^3+z^3}{3xyz}$ $+$ $\frac{3\sqrt{xyz}}{x+y+z}$ เเต่บอกไม่ได้นะครับว่า $\frac{x^3+y^3+z^3}{3xyz}+\frac{3\sqrt xyz}{x+y+z}\geqslant 2$
@#4 หัด $Chebysheb's$ ไปในตัวน่ะครับ

[BLACK-Dragon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

คือเรารู้เเค่ว่า $\frac{x^3+y^3+z^3}{3xyz}+\frac{x+y+z}{x+y+z}\geqslant 2$
เเล้วก็ $\frac{x^3+y^3+z^3}{3xyz}$ $+\frac{x+y+z}{x+y+z}$ $\geqslant$ $\frac{x^3+y^3+z^3}{3xyz}$ $+$ $\frac{3\sqrt{xyz}}{x+y+z}$ เเต่บอกไม่ได้นะครับว่า $\frac{x^3+y^3+z^3}{3xyz}+\frac{3\sqrt xyz}{x+y+z}\geqslant 2$
@#4 หัด $Chebysheb's$ ไปในตัวน่ะครับ

คงติดค่าย 3 ซะมั้งครับ

ขอบคุณครับที่ช่วย ตักเตือน

[Influenza_Mathematics]

ข้อ 3 เช็คโจทย์หน่อยครับ

[LightLucifer]

ข้อ 3 นะ
อสมการสมมูลกับ
$\sum_{cyc}x^{4}+\sum_{sym}xy^3+9(xyz)^{\frac{4}{3}} \geq 6(\sum_{cyc}x^2yz)$
ใช้ AM-GM
$\sum_{cyc}x^{4}+9(xyz)^\frac{4}{3}=\sum_{cyc}(x^{4}+3(xyz)^\frac{4}{3}) \geq 4\sum_{cyc}(x^2yz)$
แล้วก็ Wieghted AM-GM (หรือถ้าอ้าง muirhead ได้ ก็อ้างไปเลย)
$\sum_{cyc}\frac{4}{7}x^3y+\frac{1}{7}y^3z+\frac{2}{7}z^3x \geq \sum_{cyc}x^2yz$
$\sum_{cyc}\frac{4}{7}x^3z+\frac{2}{7}y^3x+\frac{1}{7}z^3y \geq \sum_{cyc}x^2yz$
SUM UP ก็จบแล้วครับ

[LightLucifer]

#4
Chebysheb ผิดนะครับ
วิธีผมนะ
อสมการสมมูลกับ
$x^2+y^2+z^2+(x+y+z)^2 \geq 12$
$\leftrightarrow x^2+y^2+z^2 \geq 3=\frac{(x+y+z)^2}{3}$
$\leftrightarrow x^2+y^2+z^2 \geq xy+yz+zx$

[จูกัดเหลียง]

โทษที ผมพึ่งหัดอ่ะครับ = =
#6 สาธุๆ

[BLACK-Dragon]

#10

ขนาดพึ่งหัดยังขนาดนี้ งั้นช่วยดูข้อนี้ให้หน่อยครับว่าถูกไหม

ให้ $a,b,c>0$ แล้ว $a^2+b^2+c^2\geqslant 3$ จงแสดงว่า

$$\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\geqslant \frac{3}{2}$$

My Solution

จาก Cauchy-Schwarz ได้ว่า

$[\sqrt{a+b}^2+\sqrt{b+c}^2+\sqrt{c+a}^2][(\frac{a}{\sqrt{b+c}})^2+(\frac{b}{\sqrt{a+c}})^2+(\frac{c}{\sqrt{a+b}})^2]\geqslant (a+b+c)^2$

$2[a+b+c][\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}]\geqslant (a+b+c)^2$

$\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\geqslant \frac{a+b+c}{2}$

$\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\geqslant \frac{3\sqrt[3]{abc}}{2}$

$\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\geqslant \frac{3}{2}$<<< บรรทัดนี้ไม่แน่ใจว่าได้หรือเปล่า

[จูกัดเหลียง]

ถ้าผมทำต่อเป็นแบบนี้ล่ะครับ
$a+b+c>k$ $a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc)>k^2$
$a^2+b^2+c^2>k^2-2(ab+ac+bc)>k^2-2(a^2+b^2+c^2)$

[LightLucifer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ BLACK-Dragon

#10

ขนาดพึ่งหัดยังขนาดนี้ งั้นช่วยดูข้อนี้ให้หน่อยครับว่าถูกไหม

ให้ $a,b,c>0$ แล้ว $a^2+b^2+c^2\geqslant 3$ จงแสดงว่า

$$\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\geqslant \frac{3}{2}$$

My Solution

จาก Cauchy-Schwarz ได้ว่า

$[\sqrt{a+b}^2+\sqrt{b+c}^2+\sqrt{c+a}^2][(\frac{a}{\sqrt{b+c}})^2+(\frac{b}{\sqrt{a+c}})^2+(\frac{c}{\sqrt{a+b}})^2]\geqslant (a+b+c)^2$

$2[a+b+c][\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}]\geqslant (a+b+c)^2$

$\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\geqslant \frac{a+b+c}{2}$

$\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\geqslant \frac{3\sqrt[3]{abc}}{2}$

$\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\geqslant \frac{3}{2}$<<< บรรทัดนี้ไม่แน่ใจว่าได้หรือเปล่า

บรรทัดสุดท้ายมายังไงเหรอครับ
วิธีผมนะ
ตอนแรกก็ Power Mean (หรืออย่างอื่นก็ได้) จะได้
$\sum_{cyc}\frac{a^2}{b+c} \geq \sum_{cyc}\frac{a^2}{\sqrt{2(b^2+c^2)} }=\sum_{cyc}\frac{\sqrt{2}a^2 }{2\sqrt{b^2+c^2} } $
ต่อมาก็ AM-GM
$\sum_{cyc}\frac{\sqrt{2}a^2 }{2\sqrt{b^2+c^2} } =\sum_{cyc}\frac{\sqrt{2}a^2 \sqrt{\frac{4}{3}a^2+\frac{1}{3}b^2+\frac{1}{3}c^2 } }{2\sqrt{\frac{3}{3} b^2+\frac{3}{3} c^2}\sqrt{\frac{4}{3}a^2+\frac{1}{3}b^2+\frac{1}{3}c^2 } } \geq \sum_{cyc}\frac{\sqrt{2}a^2 \sqrt{\frac{4}{3}a^2+\frac{1}{3}b^2+\frac{1}{3}c^2 } }{\frac{4}{3}(a^2+b^2+c^2) }$
แล้วใช้ $a^2+b^2+c^2 \geq 3 $ จะได้
$\sum_{cyc}\frac{\sqrt{2}a^2 \sqrt{\frac{4}{3}a^2+\frac{1}{3}b^2+\frac{1}{3}c^2 } }{\frac{4}{3}(a^2+b^2+c^2) } \geq \sum_{cyc}\frac{\sqrt{2}a^2 \sqrt{a^2+1 } }{\frac{4}{3}(a^2+b^2+c^2) } $
แล้ว Cauchy Schwarz
$\sum_{cyc}\frac{\sqrt{2}a^2 \sqrt{a^2+1 } }{\frac{4}{3}(a^2+b^2+c^2) } \geq \sum_{cyc}\frac{a^2(a+1)}{\frac{4}{3}(a^2+b^2+c^2)}=\sum_{cyc}\frac{3}{4}\cdot \frac{a^2(a+1)}{(a^2+b^2+c^2)}=\frac{3}{4}(\frac{a^3+b^3+c^3}{a^2+b^2+c^2}+1) $
โดย Power Mean จะได้
$a^3+b^3+c^3\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^{\frac{3}{2} }}{\sqrt{3} }=\frac{(a^2+b^2+c^2)\sqrt{a^2+b^2+c^2} }{\sqrt{3}}$
แต่ $a^2+b^2+c^2 \geq 3$ จะได้
$a^3+b^3+c^3\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^{\frac{3}{2} }}{\sqrt{3} }=\frac{(a^2+b^2+c^2)\sqrt{a^2+b^2+c^2} }{\sqrt{3}} \geq a^2+b^2+c^2$
นั่นคือ
$\frac{3}{4}(\frac{a^3+b^3+c^3}{a^2+b^2+c^2}+1) \geq \frac{3}{4} (2)=\frac{3}{2}$
$\therefore \sum_{cyc}\frac{a^2}{b+c} \geq \frac{3}{4}(\frac{a^3+b^3+c^3}{a^2+b^2+c^2}+1) \geq \frac{3}{2}$

[BLACK-Dragon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

บรรทัดสุดท้ายมายังไงเหรอครับ
วิธีผมนะ
$\sum_{cyc}\frac{a^2}{b+c} \geq \sum_{cyc}\frac{a^2}{\sqrt{2(b^2+c^2)} }$

ผมก็ไม่แน่ใจเหมือนกันครับว่า

ถ้าตัดตัวเศษที่เป็น $\sqrt[3]{abc}$ ออกไปค่ามันก็น้อยลงใช่ไหมครับ

[LightLucifer]

ขอโทษทีครับ ผมกดปุ่มผิด ไปกดโพสก่อนเวลาอันควร
ผมโพสความคิดผมไปแล้ว(ซึ่งไม่สร้างสรรค์เลย==")

ตอบ ถ้าจะทำแบบนั้นก็ต้องพิสูจน์ว่า $\sqrt[3]{abc} \geq 1$ ก่อนครับ