ช่วยตรวจสอบให้ผมที

[tani]

1. เมื่อ a , b , c เป็นจำนวนจริงบวก จงพิสูจน์ว่า
a/(ึa²+8bc)+b/(ึb²+8ac)+c/(ึc²+8ab)ณ1

วิธีคิดของผม

{a/(ึa²+8bc)+b/(ึb²+8ac)+c/(ึc²+8ab)}/3 ณ ³ึabc/(ึa²+8bc)(ึb²+8ac)(ึc²+8ab) ...(โดย A.M.-G.M.) ..... (1)

abc/{(ึa²+8bc)(ึb²+8ac)(ึc²+8ab} มีค่าสูงสุดก็ต่อเมื่อ {(ึa²+8bc)(ึb²+8ac)(ึc²+8ab} มีค่าต่ำสุด

(ึa²+8bc)(ึb²+8ac)(ึc²+8ab ณ ึ3^{6 18}ึ(a²b⁶c⁶)(a⁶b²c⁶)(a⁶b⁶c²) = 3³abc ...(โดย A.M.-G.M.)

จาก (1) จะได้ {a/(ึa²+8bc)+b/(ึb²+8ac)+c/(ึc²+8ab)}/3 ณ ³ึabc/(3³abc)

\ a/(ึa²+8bc)+b/(ึb²+8ac)+c/(ึc²+8ab) ณ 1 ตามต้องการ

ปล. ที่ผมโพสต์นี้เพื่อที่จะให้ทุกท่านช่วยตรวจสอบวิธีที่ผมทำ ผมไม่แน่ใจว่าสิ่งที่ผมทำนั้นมันถูกรึเปล่าแต่ผมลองคิดดูอย่างหนักแล้วยังไม่พบจุดผิด
แต่ผมคิดว่าน่าจะมีจุดผิดในสิ่งที่ผมทำแต่ผมยังตรวจสอบไม่เจอช่วยด้วยนะครับ
อีกอย่างโจทย์ข้อนี้ผมได้มาจาก หนังสือ สู่เส้นทางอัจฉริยะ (Count Down)

[nooonuii]

ข้อความเดิมของคุณ tani:
1. เมื่อ a , b , c เป็นจำนวนจริงบวก จงพิสูจน์ว่า
a/(ึa²+8bc)+b/(ึb²+8ac)+c/(ึc²+8ab)ณ1

วิธีคิดของผม

{a/(ึa²+8bc)+b/(ึb²+8ac)+c/(ึc²+8ab)}/3 ณ ³ึabc/(ึa²+8bc)(ึb²+8ac)(ึc²+8ab) ...(โดย A.M.-G.M.) ..... (1)

abc/{(ึa²+8bc)(ึb²+8ac)(ึc²+8ab} มีค่าสูงสุดก็ต่อเมื่อ {(ึa²+8bc)(ึb²+8ac)(ึc²+8ab} มีค่าต่ำสุด

(ึa²+8bc)(ึb²+8ac)(ึc²+8ab ณ ึ3^{6 18}ึ(a²b⁶c⁶)(a⁶b²c⁶)(a⁶b⁶c²) = 3³abc ...(โดย A.M.-G.M.)

จาก (1) จะได้ {a/(ึa²+8bc)+b/(ึb²+8ac)+c/(ึc²+8ab)}/3 ณ ³ึabc/(3³abc)

\ a/(ึa²+8bc)+b/(ึb²+8ac)+c/(ึc²+8ab) ณ 1 ตามต้องการ

ปล. ที่ผมโพสต์นี้เพื่อที่จะให้ทุกท่านช่วยตรวจสอบวิธีที่ผมทำ ผมไม่แน่ใจว่าสิ่งที่ผมทำนั้นมันถูกรึเปล่าแต่ผมลองคิดดูอย่างหนักแล้วยังไม่พบจุดผิด
แต่ผมคิดว่าน่าจะมีจุดผิดในสิ่งที่ผมทำแต่ผมยังตรวจสอบไม่เจอช่วยด้วยนะครับ
อีกอย่างโจทย์ข้อนี้ผมได้มาจาก หนังสือ สู่เส้นทางอัจฉริยะ (Count Down)

$\displaystyle{ \frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}} + \frac{b}{\sqrt{b^2+8ca}} + \frac{c}{\sqrt{c^2+8ab}} \geq 3\sqrt[3]{ \frac{abc}{\sqrt{a^2+8bc}\sqrt{b^2+8ca}\sqrt{c^2+8ab}} } }$
...(โดย A.M.-G.M.) ..... (1)

$\frac{abc}{\sqrt{a^2+8bc}\sqrt{b^2+8ca}\sqrt{c^2+8ab}} $ มีค่าสูงสุดก็ต่อเมื่อ $\sqrt{a^2+8bc}\sqrt{b^2+8ca}\sqrt{c^2+8ab}$ มีค่าต่ำสุด

^
^
ผิดตั้งแต่บรรทัดนี้แหละครับ จริงๆแล้วเราต้องการค่าต่ำสุดของ $\frac{abc}{\sqrt{a^2+8bc}\sqrt{b^2+8ca}\sqrt{c^2+8ab}} $ ครับ ไม่ใช่ค่าสูงสุด

ป.ล. โจทย์ข้อนี้คือ IMO2001#2 ครับ

[tani]

ผมว่าหาค่าสูงสุดนั่นแหละครับถูกต้องแล้ว ยังไงก็ช่วยดูให้อีกทีนะครับ
และผมได้ลองหาค่าสูงสุดมาแล้ว

[Mastermander]

ผมว่ามันแปลกๆนะ โดยเฉพาะ A.M.-G.M.

[nooonuii]

เราต้องการ chain ของอสมการแบบนี้ใช่ป่ะครับ

$\displaystyle{ \frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}} + \frac{b}{\sqrt{b^2+8ca}} + \frac{c}{\sqrt{c^2+8ab}} \geq 3\sqrt[3]{ \frac{abc}{\sqrt{a^2+8bc}\sqrt{b^2+8ca}\sqrt{c^2+8ab}} }\geq ... \geq ... }$

ถ้าเราพิสูจน์ว่า

$\displaystyle{ \sqrt[3]{ \frac{abc}{\sqrt{a^2+8bc}\sqrt{b^2+8ca}\sqrt{c^2+8ab}} }\leq \frac{1}{3} }$
เราจะได้

$\displaystyle{ \frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}} + \frac{b}{\sqrt{b^2+8ca}} + \frac{c}{\sqrt{c^2+8ab}} \geq 3\sqrt[3]{ \frac{abc}{\sqrt{a^2+8bc}\sqrt{b^2+8ca}\sqrt{c^2+8ab}} } \leq 1 }$

แล้วเราจะสรุปอสมการที่ต้องการได้ยังไงครับ

[tani]

ถ้าผมจะอ้างเหตุผลว่า
อสมการที่ (1) เป็นสมการ (หรือให้ค่าต่ำสุดของพจน์ทางขวามือ)
และอสมการที่ (2) เป็นสมการ (หรือค่าสูงสุดของพจน์ทางซ้ายมือ)
ก็จะได้ตามที่ต้องการคืออสมการในบรรทัดสุดท้าย
ช่วยดูให้อีกทีนะครับ รบกวนด้วยครับสงสัยจริงๆ