ช่วยหาสมการหน่อย

[NEWTON]

โจทย์ให้หาคำตอบทั่วไปของสมการ
sin^2 y dx + cos^2x dy = 0
โดยภายใต้เงื่อนไข y(phi/4) = phi/4 แล้วคำตอบออกมาได้ สมการ tan x tan y = 1 ผมลองทำดูแล้วคำตอบมันไม่เป็นอย่างที่ว่าซักที ไม่รู้จะทำยังไง (หมดปัญญาแล้ว)

[KS]

(sin y)^2 dx + (cos x)^2 dy = 0
int(1/(cos x)^2) dx = - int(1/(sin y)^2) dy

tan(x) = 1/tan(y) + C

แทนค่าหา C

ขอรายละเอียดมากกว่านี้ครับว่า
1/cos^2 x dx + 1/sin^2 y dy =0 เนี้ย กว่าจะถึง tan x tan y = 1 ต้องทำยังไงมั่ง แล้วก็ (cos x)^2 พอคูณไปแล้วไม่ได้ cos^2 (x^2) หรือ

[KS]

สงสัยว่่าน้องน่าจะ้เรียนในช่วง ม.ปลายใช่ไหมครับ
ให้ sin(x) เป็น sx และ cos(y) คือ cy นะ ขี้เกียจพิมพ์

sy^2 dx + cx^2 dy= 0
sy^2 dx = -cx^2 dy
1/(cx^2) dx = -1/(sy^2) dy

integrate ทั้ง 2 ข้าง
1/(cx^2) dx = tan x + C1
1/(sy^2) dy = -1/tan y + C2

การหาค่าของ indefinite integral มีหลา่ยวิธึ
ทั้งทำ by-part และ substitution
อันนี้ไปลองดูเองนะึครับ

เมื่อได้
tan x + C1 = 1/tan(y) + C2
ย้าย ค่า C1 ไปรวมกับ C2 ให้เป็น C

tan x = 1/tan(y) + C ..... (1)

y(x=pi/4) = pi/4

tan(pi/4) = 1/tan(pi/4) + C
1 = 1 + C
C = 0

แทนค่า C คืินไปใน (1)
tan(x) = 1/tan(y)
tan(x)tan(y) = 1