Calculus Marathon (2)

[nooonuii]

85. เนื่องจาก $1 = \sqrt{f(x)}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{f(x)}}$ ทุกค่า $x\in[0,1]$

โดยอสมการโคชีเราจะได้ว่า

$$1=\int_0^1\sqrt{f(x)}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{f(x)}} \, dx \leq \Big(\int_0^1f(x)\, dx\Big)^{1/2}\Big(\int_0^1\frac{1}{f(x)}\, dx\Big)^{1/2}$$

ยกกำลังสองทั้งสองข้างก็จบครับ

ป.ล. ข้อ 84 สามารถใช้เทคนิคการอินทิเกรตธรรมดาครับ แต่ไม่แน่ใจว่าจะต้องใช้ residue มาช่วยด้วยรึเปล่าครับ ผมลืมไปแล้วครับ แต่เดี๋ยวจะไปรื้อเฉลยมาให้

[Timestopper_STG]

จริงด้วยนะครับลืมไปสนิทเลยครับว่าใช้โคชีกับอินทิเกรตได้ด้วยเจ๋งจริงๆครับ

[passer-by]

HINT (83)

Simplify $\frac{\sin^4 2\theta}{(\sin^5 \theta + \cos^5 \theta)^2} $ cleverly and use $ u= \cot \theta$ or $ \tan \theta$

[Timestopper_STG]

ข้อ83ตอบ $\dfrac{16}{25}\ln 2$ หรือเปล่าครับถ้าใช่พรุ่งนี้จะเอาวิธีลงครับ

[passer-by]

ถูกแล้วครับ น้อง timestopper

[Switchgear]

ขอโพสต์ซักข้อ ... เคยโพสต์ในกระทู้ Calculus minimarathon แต่คิดว่าหินไปหน่อย ก็เลยยังไม่มีใครเฉลย


$86.$ จงพิสูจน์ว่า $\int_0^{\pi} (1-\sin\alpha \cos\theta)^n d\theta = (\cos\alpha)^{2n+1} \int_0^{\pi} \frac{d\theta}{(1-\sin\alpha \cos\theta)^{n+1}}$

.

[Timestopper_STG]

$\displaystyle{\frac{\sin^42\theta}{\left(\sin^5\theta+\cos^5\theta\right)^2}=16\frac{(\sin\theta\cos\theta)^4}{(1+\sin 2\theta)\left(\sin^4\theta-\sin^3\theta\cos\theta+\sin^2\theta\cos^2\theta-\sin\theta\cos^3\theta+\cos^4\theta\right)^2}}$
$\displaystyle{\frac{\sin^42\theta}{\left(\sin^5\theta+\cos^5\theta\right)^2}=\frac{16}{(1+\sin 2\theta)\left(\tan^2\theta-\tan\theta+1-\cot\theta+\cot^2\theta\right)^2}}$
So $\displaystyle{\displaystyle{\int_0^\frac{\pi}{4}\frac{\ln\cot\theta}{(\sin^5\theta +\cos^5\theta)^2}\sin^42\theta d\theta}=16\int_0^\frac{\pi}{4}\frac{\ln\cot\theta d\theta}{(1+\sin 2\theta)\left(\tan^2\theta-\tan\theta+1-\cot\theta+\cot^2\theta\right)^2}}$
After substitute $u=\cot\theta$ we gonna get $\displaystyle{\int_1^\infty\frac{u^4\ln u}{\left(1+u^5\right)^2}du}$, then continue with by parts method...
$\displaystyle{\int_1^\infty\frac{u^4\ln u}{\left(1+u^5\right)^2}du=\frac{16}{5}\left(-\left[\frac{\ln u}{1+u^5}\right]_1^\infty+\int_1^\infty\frac{du}{u\left(1+u^5\right)}\right)=\frac{16}{5}\int_1^\infty\frac{du}{u\left(1+u^5\right)}}$
But my sense tell me that $\displaystyle{\frac{1}{u\left(1+u^5\right)}=\frac{1}{u}-\frac{1}{5}\left(\frac{1}{1+u}+\frac{4u^3-3u^2+2u-1}{u^4-u^3+u^2-u+1}\right)}$
Finally the answer come out...$\displaystyle{\frac{16}{5}\int_1^\infty\frac{du}{u\left(1+u^5\right)}=\frac{16}{25}\left[\ln\left(\frac{u^5}{1+u^5}\right)\right]_1^\infty=\frac{16}{25}\ln 2}$
โจทย์ "Medium level" ของพี่ passer-by นี่ผมใช้เวลาตั้งครึ่งเดือนนะครับเนี่ย

[M@gpie]

น้อง Timestopper_STG ทำครึ่งเดือน ถ้าพี่คงทำทั้งชีวิตครับ เพราะไม่กะจะคิด 555

[passer-by]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Timestopper_STG

But my sense tell me that $\displaystyle{\frac{1}{u\left(1+u^5\right)}=\frac{1}{u}-\frac{1}{5}\left(\frac{1}{1+u}+\frac{4u^3-3u^2+2u-1}{u^4-u^3+u^2-u+1}\right)}$

สงสัย ต้องเป็นบรรทัดนี่แน่เลย ที่ทำให้น้อง timestopper ใช้เวลานานผิดปกติ แต่มองในแง่บวก ก็เป็นการฝึกความอดทนไปในตัวแล้วกันครับ

จริงๆจะอินทิเกรตตัวนี้ ก็ให้ $ v= u^5+1$ แล้วจะกลายเป็น $$ \frac{1}{5}\int \frac{1}{v(v-1)} \,\, dv $$

แต่ก็ต้องขอบใจน้อง timestopper ที่อุตส่าห์เสียเวลานั่งคิดข้อนี้นะครับ

[Timestopper_STG]

อ่อครับจริงด้วย แต่จริงๆแล้วผมไปทำตอนแรกผิดวิธีครับเลยไม่ใกล้คำตอบสักที

[nooonuii]

87. ให้ $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ เป็นฟังก์ชันเพิ่ม และให้ $a_n,n=1,2,3,...$ แทนลำดับ $\dfrac{f(n)}{n}$ จงพิสูจน์ว่า

ถ้า $\displaystyle{\lim_{n\to\infty}a_n=a}$ แล้ว $\displaystyle{\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=a}$

[M@gpie]

ผมลองทำดูนะครับไม่รู้ว่าถูกไหม ผิดยังไงก็บอกนะครับผม



We will prove the contrapositive of this statement instead.
Assume that $\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x} \neq a$.
Then there exists $\epsilon >0 $ for any $M >0$ such that if $x > M$ and $\left| \frac{f(x)}{x} - a \right| \geq \epsilon$.
Hence, we can see that there exists $\epsilon >0$, for any $M > 0$ such that for any $n\in \mathbb{N}$, if $n > M$ and $\left| \frac{f(n)}{n} - a \right| \geq \epsilon$. This implies $\lim_{n\rightarrow \infty} a_n \neq a.$ The proof is finished.

[nooonuii]

เท่าที่อ่านดูเหมือนกับว่าวิธีของน้อง Magpie ใช้ได้กับทุกฟังก์ชันเลยครับ ซึ่งไม่จริง ยกตัวอย่างเช่น $f(x)=x\sin{\pi x}$ จะเห็นว่า $a_n=0$ ทุกค่า $n$ แต่ $\displaystyle{\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}}$ หาค่าไม่ได้ แต่ก็ยังหาจุดผิดไม่เจออยู่ดีครับ คงเป็นเรื่องของการตีความนิยามนี่แหละครับ

[M@gpie]

งืมมม นั่นสิครับ ผิดตรงไหนหนอ?? ผมเข้าใจอะไรผิดรึเปล่าครับ พี่ nooonuii โปรดชี้แนะ

[passer-by]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ M@gpie

Assume that $\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x} \neq a$.
Then there exists $\epsilon >0 $ for any $M >0$ such that if $x > M$ and $\left| \frac{f(x)}{x} - a \right| \geq \epsilon$.

ผมคิดว่า เริ่มมีปัญหาตรงที่ผมใส่ตัวแดงไว้

นิเสธจริงๆ น่าจะเป็นอย่างนี้นะครับ

there exists $\epsilon_0 >0 $ such that for any $M >0$ , we can find $x > M$ with $\left| \frac{f(x)}{x} - a \right| \geq \epsilon_0$.