แปลงเป็นอนุกรมให้หน่อย

อยากแปลง tan^2 x ให้เป็นอนุกรมเทย์เลอร์ แต่ยิ่งทำยิ่งยาว และมีรูปแบบที่ไม่แน่นอนซักที เลยอยากรู้วิธีลัดหน่อย
หมายเหตุ(ขี้เกียจเข้าระบบ จำ password ไม่ได้แล้ว ช่วยหน่อยครับผู้ดูแล ไม่อยากสมัครสมาชิกใหม่)

[gon]

ได้ passwd แล้วก็เปลี่ยนใหม่เป็นอันที่เราใช้บ่อย ๆ
และก็จำได้ซิครับ. แล้วก็ถ้าจำไม่ได้
เราก็มีช่องให้ส่ง passwd ไปใหม่ที่ email ตัวเดิมที่สมัครนี่ครับ.
tan^2x จะลอง ๆ ดูให้นะครับ.

ขอโทษทีครับ บอกผิดไปไม่ใช่อนุกรมเทย์เลอร์แต่ว่าที่ให้ช่วยหาจริง ๆ คือ อนุกรมเมคคลอลิน ก็คือว่าหาค่าของอนุพันธ์อันดับที่ 1 จนถึง n แล้วแทน x = 0 ลงไปครับ

[NEWTON]

ส่วนเรื่องที่เข้าระบบไม่ได้ก็ไม่เป็นไรแล้วครับ เพิ่งนึกได้ว่าเมื่อหลายวันก่อนผมเข้าไปในระบบแล้วลืมออกจากระบบ พอออกไปเล่นอินเตอร์เน็ตข้างนอก แล้วเข้าระบบใหม่ก็เลยเข้าไม่ได้ แต่ว่าตอนนี้เข้าได้แล้วครับ
ขอบคุณมากครับสำหรับคำแนะนำ

[gon]

ผมลอง ๆ แปลงแค่ tan x ดูนะครับ.
มันก็ยุ่งยาก เพราะมันจะขยายเป็น power seriesไปเรื่อย ๆ
และ พจน์สุดท้ายที่ใช้ประมาณค่าก็ต้องติดในรูป สัมประสิทธิ์ของออยเลอร์
ท่าทางมันจะทำให้สวยไม่ได้นะครับ.
แต่จะลองมั่ว ๆ ดูอีกที

[tunococ]

คือ เค้าไม่ทำกันนะครับ เพราะว่ามันคิดจาก sin / cos ได้ แล้วก็ ถ้าเป็น McLaurin Series มันจะมีปัญหาตรงส่วนเป็น 0 ถ้าลองใส่ pi/4 บวกเข้าไปแล้ว diff มันก็ไม่สวยอยู่ดี
สรุปแล้วอย่าไปทำมันเลย ทำ arcsin ยังง่ายกว่า (นิดนึง)

อนุกรม Maclaurin ของ tan x ค่อนข้างยุ่งยากเพราะพจน์ทั่วไปมี Bernoulli number เข้ามาเกี่ยวข้องด้วย

tan x = x + x^3/3 + 2*x^5/15 + ... + (-1)^(n-1)*2^(2n)*(2^(2n)-1)/(2n)!*B(2n)*x^(2n-1) + ...

โดยที่ B(2n) คือ Bernoulli number ตัวที่ 2n

แต่ถ้าเรารู้อนุกรมสำหรับ tan x แล้วการหาอนุกรมสำหรับ (tan x)^2 ก็ทำได้ไม่ยากเพราะ

(tan x)^2 = d(tan x)/dx - 1

ดังนั้นเราจะได้ว่า

(tan x)^2 = x^2 + 2*x^4/3 + 17*x^6/45 + ... + (-1)^m*2^(2m+2)*(2^(2m+2)-1)*(2m+1)/(2m+2)!*B(2m+2)*x^(2m) + ...