Series

[Lekkoksung]

ให้ $A, B$ เป็นอนุกรมใดๆ
ถ้า $A$ และ $B$ ลู่เข้า แล้วเราจะได้ว่า $AB$ ลู่เข้าด้วยรึป่าวครับ

[nooonuii]

คำถามกำกวมไม่ชัดเจนครับ สามารถตีความไปอีกแบบได้ แต่ถ้าคำถามเป็นแบบนี้ก็เป็นไปได้ทั้งสองแบบ

ถ้า $\sum a_n,\sum b_n$ ลู่เข้าแล้ว $\sum a_nb_n$ ลู่เ้ข้า

$\clubsuit$ ถ้าเป็นอนุกรมใดๆ ไม่จริงครับ

ตัวอย่าง $a_n=b_n=\dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$

$\clubsuit$ ถ้าเป็นอนุกรมบวกทั้งคู่ จริงครับ

พิสูจน์

เนื่องจาก $a_n,b_n\to 0$ จะมี $N$ ซึ่งทำให้

$a_n\leq 1,b_n\leq 1$ ทุกค่า $n\geq N$

ดังนั้น $a_n^2\leq a_n,b_n^2\leq b_n$ ทุก $n\geq N$

โดยการทดสอบแบบเปรียบเทียบ

$\sum a_n^2,\sum b_n^2$ ลู่เข้า

จากอสมการ AM-GM เราทราบว่า

$a_nb_n\leq \dfrac{1}{2}\left(a_n^2+b_n^2\right)$

โดยการทดสอบแบบเปรียบเทียบอีกครั้ง

$\sum a_nb_n$ ลู่เข้า

ถามให้คิดต่อ เมื่ออนุกรมเป็นอนุกรมใดๆ บทพิสูจน์นี้จะ fail ตรงบรรทัดไหน ?

[Lekkoksung]

ตรงนี้อะ ครับ ถูกต้องรึป่าว

ดังนั้น $a_n^2\leq a_n,b_n^2\leq b_n$ ทุก $n\geq N
$

[nooonuii]

ถูกแล้วล่ะครับ

$\clubsuit$ ถ้าเป็นอนุกรมที่ absolutely convergent ทั้งคู่ก็จริงเช่นกัน

ลองฝึกพิสูจน์ดูครับ

[Lekkoksung]

ขอบคุณครับพี่ ผมอยากไปลง Set กับพี่จังเลย

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

$\clubsuit$ ถ้าเป็นอนุกรมใดๆ ไม่จริงครับ

ตัวอย่าง $a_n=b_n=\dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$

แสดงว่า $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$ ลู่เข้า ทำยังไงครับ

[nooonuii]

ใช้ Alternating series test ครับ

[Lekkoksung]

ได้แล้วครับ ขอบคุณมาก