ปัญหาอินทิเกรต

['' ALGEBRA '']

ช่วยคิดให้หน่อยนะคับพอดีผมสงสัยว่ามันคิดยังไงถ้าโจทย์มันเป็นแบบนี้

1. $\int_{}^{}\,\frac{1}{lnx} dx $
2. $\int_{}^{}\,\frac{1}{ln\left|x\right| } dx $
3. $\int_{}^{}\,\frac{1}{ln\left|x\right|+1 } dx $
4. $\int_{}^{}\,\frac{1}{ln\left|x+1\right| } dx $
5. $\int_{}^{}\,x^3{cosx}dx $
6. $\int_{}^{}\,\sqrt{1-x^3} dx $

['' ALGEBRA '']

ข้อ5กับ6ไม่ค่อยมีปัญหา แต่ข้อ1-4นี่สิ ?????

[Ne[S]zA]

ข้อ 1-4 ก็น่าจะแบบเดียวกันกับ http://www.wolframalpha.com/input/?i...F%28ln+x%29+dx

[nooonuii]

ถ้าตั้งโจทย์เองมีสิทธิ์เจอของแข็งครับ

['' ALGEBRA '']

ปัญหาข้อ1-4เหตุเกิดมาจากผม
$\int_{}^{}lnxdx =xlnx-x+C$ จากการ integration by part ครับ
แล้วผมก็เลยลองคิดในแง่กลับกัน มันก็เลยเกิดปัญหาขึ้นล่ะคราวนี้
แต่ผมเจอ2วิธีในการหาคำตอบซึ่งคำตอบก็ไม่เหมือนกันด้วยซิ
แสดงว่าผมคิดพลาด แต่ไม่รู้ว่าพลาดตรงไหน ลองช่วยเช็คดูนะครับผมหาไม่เจอ
ปัญหาคือ $\int_{}^{}\frac{1}{lnx} dx $
วิธีที่ 1
จาก$\int_{}^{}\frac{1}{x} dx = ln\left|x\right|+c $
จะได้$\int_{}^{}\frac{1}{lnx} dx = ln\left|\ln\left|x\right| \right|+c $ #
ซึ่งdiffตรวจคำตอบจะได้
$\frac{d}{dx} ln\left|\ln\left|x\right| \right| =\frac{1}{ln\left|x\right|}\cdot \frac{1}{x}$
ซึ่งไม่ตรงกับปัญหา แต่ก็ใกล้เคียงที่สุดล่ะ
วิธีที่ 2 integration by part
$u=\frac{1}{lnx}$ $, dv=dx$ ${\Rightarrow lnx=\frac{1}{u} \Rightarrow x=e^\frac{1}{u}} $
$du=-\frac{1}{x(ln2)^2}dx $ $, v=x$ ${\Rightarrow e^\frac{1}{u}(\frac{-1}{u^2})du=dx}$
จาก $\int_{}^{}udv=uv-\int_{}^{}vdu$
จะได้$\int_{}^{}\frac{1}{lnx} dx =\frac{1}{lnx}\cdot x -\int_{}^{}x\cdot (\frac{-1}{x(lnx)^2} )dx $
$=\frac{x}{lnx}+\int_{}^{}(u)^2\cdot e^{(\frac{1}{u})}\cdot (\frac{-1}{u^2} )du $
$=\frac{x}{lnx}-\int_{}^{}e^{\frac{1}{u}} du $
$=\frac{x}{lnx}-e^{\frac{1}{u}}+c$
$=\frac{x}{lnx}-e^{lnx}+c$
$=\frac{x}{lnx}-x+c$ #
ซึ่งdiffตรวจคำตอบจะได้$\frac{(lnx)(1)-(x)(\frac{1}{x} )}{(lnx)^2}-1 $
ซึ่งไม่ตรงกับปัญหา
จาก2วิธีนี้ผมพลาดตรงไหนเนี่ย??

[poper]

วิธีแรกจะเทียบแบบนั้นไม่ได้นะครับ
เท่าที่ทำได้คือ
$\int\frac{1}{lnx}\cdot xd(lnx)=\int\frac{e^u}{u}du$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ '' ALGEBRA ''

วิธีที่ 1
จะได้$\int_{}^{}\frac{1}{lnx} dx = ln\left|\ln\left|x\right| \right|+c $ #

วิธีที่ 2
$=\frac{x}{lnx}-\int_{}^{}e^{\frac{1}{u}} du $
$=\frac{x}{lnx}-e^{\frac{1}{u}}+c$

ตรงนี้ครับ

['' ALGEBRA '']

จริงด้วยเเฮะ
เรื่องintegrateมันไม่เหมือนเพื่อนอยู่
โดยหลักแล้วผมไม่น่าเทียบเลย
ขอบคุณคุณpoperมากนะครับ
ทำให้ผมได้เรียนรู้จากข้อผิดพลาด

['' ALGEBRA '']

#7
วิธีที่2พลาดยังไงหราคับ

[poper]

เหมือนวิธีแรกอ่ะครับ
$\int e^{\frac{1}{u}}du\not=e^{\frac{1}{u}}+C$ ครับ

['' ALGEBRA '']

คิดไปคิดมา ชักเข้าป่าแล้วซิครับ555

[Ne[S]zA]

ตอนที่ใส่ Wolfram|Alpha มันมีสัญลักษณ์ $Ei(x)$ คือ Exponential Integral กับ $Li$ คือ Logarithmic Integral
มันคืออะไรหรอครับ ช่วยอธิบายเพิ่มเติมหน่อยครับ

[nooonuii]

$Ei(x)=\int_{-\infty}^x \frac{e^t}{t}\,dt$

$Li(x)=\int_{0}^x \frac{1}{\ln{t}}\,dt,x>0,x\neq 1$

ทั้งสองฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันที่เรียกว่าฟังก์ชันอดิศัย(transcendental function)

คือเป็นฟังก์ชันที่ไม่สามารถเขียนอธิบายด้วยฟังก์ชันพื้นฐาน(elementary function) ที่เรารู้จักกันได้

อินทิกรัลบางชนิดไม่สามารถหาคำตอบเป็นฟังก์ชันพื้นฐานได้ก็จะตอบติดฟังก์ชันพิเศษพวกนี้เอาไว้

จริงๆแล้วมีฟังก์ชันประเภทนี้มากกว่าฟังก์ชันที่อินทิเกรตหาคำตอบได้เสียอีก

จึงไม่แปลกอะไรถ้าตั้งโจทย์ขึ้นมาเองแล้วอินทิเกรตไม่ออกครับ

['' ALGEBRA '']

#13
อ่อ เป็นอย่างนี้นี่เอง
ขอบคุณ คุณ nooonuii มากนะคับ คาราวะเลย

[Ne[S]zA]

#13 ขอบคุณครับ อิอิ