อินทิเกรตไม่ออก ขอช่วยหน่อยครับ

[Yuka]

ช่วยหาค่าอินทิเกรต2ข้อนี้ให้หน่อยครับ
คิดเท่าไรก็ไม่ออกสักที
ขอแบบระเอียดนะครับ เรื่องปริพันธ์ไม่ตรงแบบผมยิ่งไม่เข้าใจเอามากๆ
ขอบคุณครับ


$เมื่อ t>0 ,n\geqslant 1, i\geqslant 1$

$$\int_{0}^{\infty}e^{-nt} t^{i-1}dt$$

$$\int_{0}^{\infty}t^{i-1}\frac{e^{-t}}{1-e^{-t}}dt$$

[PP_nine]

ข้อแรกใช้นิยามของฟังก์ชันแกมมาครับ แล้วเปลี่ยนตัวแปร $t \rightarrow nt$ ได้ว่า
$$\Gamma (i)=n^i \int_0^{\infty} e^{-nt}t^{i-1}\, dt$$

แบบละเอียด

นิยามแกมมาฟังก์ชัน
$$\Gamma (i)=\int_0^{\infty} e^{-t}t^{i-1}\, dt$$
เปลี่ยนตัวแปร $t \rightarrow nt$
$$\Gamma (i)=\int_0^{\infty} e^{-nt}(nt)^{i-1}\, d(nt)$$
$$\Gamma (i)=n^i \int_0^{\infty} e^{-nt}t^{i-1}\, dt$$
$$\int_0^{\infty} e^{-nt}t^{i-1}\, dt = \frac{\Gamma (i)}{n^i}$$

[Yuka]

ขอบคุณ คุณ PP_nine มากครับ
ผมนึกไม่ถึงเลยครับว่าต้องใช้ฟังก์ชันแกมมาเข้ามาช่วย


เหลือข้อ2 มันต้องใช้อะไรรึป่าว แบบธรรมดาก็งงอยู่แล้ว นี่มีลูกเล่นเข้ามาอีก แย่แน่

ขอช่วยสอนข้อ2ผมหน่อยครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Yuka

ช่วยหาค่าอินทิเกรต2ข้อนี้ให้หน่อยครับ
คิดเท่าไรก็ไม่ออกสักที
ขอแบบระเอียดนะครับ เรื่องปริพันธ์ไม่ตรงแบบผมยิ่งไม่เข้าใจเอามากๆ
ขอบคุณครับ


$\int_{0}^{\infty}t^{i-1}\frac{e^{-t}}{1-e^{-t}}dt$

แตกอนุกรมของ

$\dfrac{e^{-t}}{1-e^{-t}}=\dfrac{1}{e^t-1}$

แล้วอินทิเกรตทีละเทอม คำตอบติด Riemann Zeta function

[Yuka]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

แตกอนุกรมของ

$\dfrac{e^{-t}}{1-e^{-t}}=\dfrac{1}{e^t-1}$

แล้วอินทิเกรตทีละเทอม คำตอบติด Riemann Zeta function

ผมคิดได้$\dfrac{e^{-t}}{1-e^{-t}}=-(1+\dfrac{1}{e^{-t}-1})$

$\dfrac{e^{-t}}{1-e^{-t}}=\dfrac{1}{e^t-1}$ คิดอย่างไงหรอครับ

แล้วอินทิเกรตทีละเทอม เทอมของ $-\dfrac{t^{i-1}}{e^{-t}-1}$ ใช้เทคนิคอะไรครับ
ผมติดอยู่เทอมนี้แหละครับคิดไม่ออกซะที


ขอบคุณครับ

[nooonuii]

$e^{-t}=\dfrac{1}{e^t}$

$\dfrac{1}{e^t-1}=-\dfrac{1}{1-e^t}=-(1+e^t+e^{2t}+\cdots)$

[kongp]

ตอนเข้าสอบละก็เจอรูปที่ไม่เคยเห็นจะงง กว่าจะมั่นใจก็กินเวลาเป็นนาทีๆ มัวนั่งงงก็เสียรู้ จะพึ่งสูตรในเครื่องคิดเลขก็ไม่ได้บอกถึงจำนวนค่านัยสำคัญที่ใช้ คิดเองก็มีแต่ง่ายๆ เป็นผมนะ จำฟังก์ชั่นแปลกๆ ไม่ได้สมัยเรียนปีหนึ่งกับเค้า แก้ยาวๆ ก็ค่าผิดพลาดเยอะตามไปด้วย แก้สั้นๆ ก็ได้แค่ค่าประมาณ

เห็นคนอื่นทำข้อสอบได้ นัยว่าเรียนโรงเรียนคริสต์ ยังพอมีอะไรติดหัวมากกว่าพวกที่เรียนพิเศษตามสถาบันดังๆ มา เป็นเด็กกรุงเทพก็มีส่วนมาก

สังเกตุคนในเวปนี้ไม่คิดมาก ดีครับไปเรื่อยๆ ผมเองก็ศึกษาเป็นงานอดิเรกที่ชื่นชอบ

[Yuka]

ขอบคุณครับ

ผมคงโง่จริงๆ ที่คิดต่อไม่ได้ มันมี $t^{i-1}$ ติดอยู่
อีกอย่าง ที่คุณบอกว่าติด Riemann Zeta function ผมไม่รู้จักมันมาก่อนเลย มันคืออะไร?
แต่ลองหาข้อมูลในเน็ตแล้ว มันเป็นอนุกรมอนันต์ ผมต้องหาค่าอนุกรมนี้อีกด้วยใช่มั้ยครับ
ไม่เข้าใจว่าอินทิเกรตข้อ2 ลู่เข้าอย่างไง และจะจัดการกับ$t^{i-1}$ อย่างไง

[kongp]

รู้สึกว่าโจทย์ข้อนี้เข้ารูปอนุกรมเวลา (Time Series) ชุดฟอร์มสำหรับแก้ปัญหานี้มีอยู่นะ เป็นหนังสือเลย แบบว่าเคยเห็นเป็นชื่อหนังสือ ติดที่ว่าต้องดูก่อนว่าปํญหานี้ลู่เข้าหรือไม่ ? ที่ต้องเช็คก่อนนะ อาจจะมีการปรับปรุงรูปให้อินทิเกรตง่าย เนื้อหาในโจทย์เรื่องนี้ใช้ในเรื่องนี้มีตั้งแต่พยากรณ์ตลาดหุ้น เรดาห์ วิเคราะห์คลื่นหัวใจทางการแพทย์ เป็นต้น

ความแม่นยำขึ้นกับโมเดลที่ใช้ เด็กไทยรุ่นใหม่คงชอบเขียนโปรแกรมแก้โจทย์แบบนี้ละครับผม

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Yuka

ขอบคุณครับ

ผมคงโง่จริงๆ ที่คิดต่อไม่ได้ มันมี $t^{i-1}$ ติดอยู่
อีกอย่าง ที่คุณบอกว่าติด Riemann Zeta function ผมไม่รู้จักมันมาก่อนเลย มันคืออะไร?
แต่ลองหาข้อมูลในเน็ตแล้ว มันเป็นอนุกรมอนันต์ ผมต้องหาค่าอนุกรมนี้อีกด้วยใช่มั้ยครับ
ไม่เข้าใจว่าอินทิเกรตข้อ2 ลู่เข้าอย่างไง และจะจัดการกับ$t^{i-1}$ อย่างไง

มีวิธีที่ง่ายกว่าแล้วคือแตกอนุกรม $\dfrac{1}{1-e^{-t}}=1+e^{-t}+e^{-2t}+\cdots$

แตกอนุกรมได้แล้วเอา $t^{i-1}e^{-t}$ คูณเข้าไปทุกเทอม จากนั้นใช้ที่ PP_nine

ทำไว้ให้ก็ได้แล้วมิใช่หรือ Riemann zeta function คำนวณค่าไม่ได้ทั้งหมดครับ

คงต้องติดไว้อย่างนั้น แต่ผมคิดว่าจุดประสงค์หลักของ paper อาจจะไม่ได้ต้องการให้คำนวณโดยตรง

[Yuka]

ขอบคุณนะครับ คุณnooonuii

ครับ ผมต้องพิสูจน์ให้ได้ว่ามันลู่เข้า

รบกวนช่วยแนะนำผมอีกครั้งนะครับ
ถ้า ใช้อย่างคุณ PP_nine มันก็ลู่ออกใช่มั้ยครับ เพราะมันต้องหาค่าไปเรื่อยๆไม่มีที่สิ้นสุด
แล้วถ้าวิธีติด Riemann zeta function ก็ลู่ออกอีก เพราะมันเป็นอนุกรมอนันต์ http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%...B8%99%E0%B9%8C
ผมเข้าใจถูกมั้ยครับ ถ้าอย่างั้นพอจะมีวิธีพิสูจน์ว่าอินทิเกรตข้อนี้ลู่เข้าป่าวครับ

ขอบคุณครับ

[nooonuii]

ทำไมถึงคิดว่าลู่ออกครับ อนุกรมอนันต์มีทั้งลู่เข้าและลู่ออกมิใช่หรือ

[Yuka]

แล้วถ้าคิดอย่างนี้ได้ป่าวครับ
เนื่องจาก $i>0$ ผมจึงแยกคิดเป็นกรณี

กรณีที่ $i=1$ ก็แทนค่าลงไปเลย แล้วหาค่าอินทิเกรต

$$\int_{0}^{\infty}\frac{e^{-t}}{1-e^{-t}}dt$$


กรณีที่ $i>1$

$$\int_{0}^{\infty}t^{i-1}\frac{e^{-t}}{1-e^{-t}}dt= \zeta (i)\Gamma (i)<\infty $$

ที่ผมแยกกรณีเพราะผมคิดว่าถ้า i=1 Riemann Zeta function มันจะได้อนุกรมฮาโมนิกส์ครับ

ผมเข้าใจถูกป่าวครับ และสามารถตอบแบบนี้ได้มั้ย

ขอบคุณครับที่ช่วยสอน

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Yuka

$$\int_{0}^{\infty}t^{i-1}\frac{e^{-t}}{1-e^{-t}}dt=\varsigma (i)\Gamma (i)<\infty $$

อย่างอื่นเข้าใจถูกหมดแล้ว แต่คำตอบน่าจะเป็น $\zeta(i)\Gamma(i-1)$ มากกว่านะ

[Yuka]

ขอบคุณครับ

ผมเอามาจากสูตรในเว็ปนี้ครับ
http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%...B8%A1%E0%B8%B2
ตรงหัวข้อ ความสัมพันธ์กับฟังก์ชันอื่น
บรรทัดก่อนแผนภาพอ่าครับ