โจทย์ข้อที่สอง

โจทย์ข้อสองคือ ให้(แสดงวิธี)หาผลบวกของอนุกรมต่อไปนี้
arctan(2/1^2) + arctan(2/2^2) + arctan(2/3^2) + arctan(2/4^2) + arctan(2/5^2) + ...
หวังว่าโจทย์ทั้งสองข้อคงไม่ยากหรือง่ายเกินไปนะครับ

ไม่ตอบนะ ให้คนอื่นตอบ

ใบ้ไว้นิดนึง

atan(2/n^2)= integrate(-4*n/(x^4+4))

โจทย์อยู่ในรูปของ ผลบวกของ arctan(2/n^2)
ให้ S = arctan(2/1^2) + arctan(2/2^2) + arctan(2/3^2) + ... + arctan(2/n^2)
มาลองใช้เทคนิควิธีการผลต่าง (Method of Difference) กัน
พิจารณา 2/n^2 = [(n+1) - (n-1)]/[1 + (n+1)(n-1)]
ทางขวามืออยู่ในรูป (x - y)/(1 + xy)
เมื่อ x = n+1 และ y = n-1
เมื่อพิจารณาสูตรของ arctan จะได้
arctan(x - y)/(1 + xy) = arctan(x) - arctan(y)
นั่นคือ arctan(2/n^2) = arctan(n+1) - arctan(n-1)
n = 1 : arctan(2/1^2) = arctan(2) - arctan(0)
n = 2 : arctan(2/2^2) = arctan(3) - arctan(1)
n = 3 : arctan(2/3^2) = arctan(4) - arctan(2)
n = 4 : arctan(2/4^2) = arctan(5) - arctan(3)
..........
n = (n-2) : arctan(2/(n-2)^2) = arctan(n-1) - arctan(n-3)
n = (n-1) : arctan(2/(n-1)^2) = arctan(n) - arctan(n-2)
n = n : arctan(2/n^2) = arctan(n+1) - arctan(n-1)
นำสมการทั้งหมดบวกเข้าด้วยกัน จะได้
S = arctan(n) + arctan(n+1) - arctan(0) - arctan(1)
เนื่องจาก arctan(0) = 0 และ arctan(1) = pi/4
จะได้ S = arctan(n) + arctan(n+1) - pi/4
แต่ arctan(n) + arctan(n+1) = pi + arctan[(2n+1)/(1 - n^2 - n)] ..... (ทำไมเอ่ย )
นั่นคือ S = 3pi/4 + arctan[(2n+1)/(1 - n^2 - n)]
เมื่อ n --> infinity จะได้ (2n+1)/(1 - n^2 - n) = 0
ดังนั้น S_infinity = 3pi/4

ใช่แล้วครับคุณ Muggle เนื่องจาก
arctan(2/n^2) = arctan(n+1) - arctan(n-1)
ทำให้เราหาผลบวกย่อย Sn ได้เท่ากับ
arctan(n) + arctan(n+1) - arctan(0) - arctan(1)
อนุกรมที่เราสามารถหาผลบวกได้ในลักษณะเช่นนี้ (คือมันหักล้างกันเองจนเหลือแต่พจน์หัวท้าย)
เขามีชื่อเรียกเฉพาะว่า telescoping series
อาศัยความจริงที่ว่า lim n->infinity ของ arctan(n) = pi/2 เราจะได้
S = pi/2 + pi/2 - 0 - pi/4 = 3*pi/4

อย่างไรก็ตามเราสามารถหลีกเลี่ยงปัญหาที่จะต้องเจอ arctan(infinity)
หรือปัญหามุมล้นเกิน pi/2 อย่างที่คุณ Muggle เจอมาแล้วได้โดยใช้ identity ต่อไปนี้แทน
arctan(2/n^2) = arctan(1/(n-1)) - arctan(1/(n+1))

ไว้พบกันใหม่ในปัญหาข้อที่สามครับ